1.10. Критерий устойчивости Михайлова. Определение допустимых настроек сау

Критерий Михайлова является частотным. Для оценки устойчивости используется характеристический многочлен передаточной функции замкнутой САУ. Структура САУ может быть любой.

Формулировка критерия Михайлова: САУ п-го порядка устойчива, если годограф Михайлова, начинаясь на положительной части действительной оси, проходит против часовой стрелки подряд ровно п квадрантов . Если годограф проходит п квадрантов не подряд или проходит меньше квадрантов, чем п, то САУ неустойчива . Если годограф при любой частоте проходит через начало координат, то САУ находится на грани устойчивости.

Оценка устойчивости с использованием графика годографа Михайлова наглядна, но требует громоздких вычислений по выражению. Если учесть, что для оценки устойчивости важен только факт прохождения годографом п квадрантов против часовой, а не сама форма годографа (рис.1.36а), то на этом можно существенно сократить вычисления. Достаточно найти частоты ω₁, ω₂, …, ω_п, при которых пересекаются оси координат, упорядочить их по возрастанию и для этих частот найти последовательно знаки (+ или -) выражений Р(ω₁), Q(ω₂), P(ω₃),…, где Р и Q - соответственно, действительные и мнимые части выражения W(jω). САУ будет устойчива, если знаки выражений Р и Q будут чередоваться согласно табл.1.6. Любое отступления от табл.1.6 свидетельствует о том, что САУ либо неустойчива, либо находится на грани устойчивости.

Определение допустимых настроек САУ.

Если передаточная функция САУ содержит хотя бы один буквенный коэффициент, значение которого может быть любым числом, то с помощью критерия Михайлова можно определить допустимые по условию устойчивости значения такого коэффициента. При двух буквенных коэффициентах возможно совместное определение допустимых значений таких коэффициентов и выделение областей устойчивости на плоскости этих коэффициентов.

1.11. Критерий устойчивости Найквиста. И спользование лачх для оценки устойчивости сау

Критерий Найквиста является частотным. САУ должна иметь структуру с единичной обратной связью. Для оценки устойчивости используется частотная характеристика разомкнутой САУ.

Подготовительные операции.

Вычисляем и строим годограф W_раз(jω) частотной характеристики разомкнутой САУ при значениях ω= 0 … ∞ (рис.1.38).

Формулировка критерия Найквиста зависит от вида частотной характеристики W_раз(jω) разомкнутой САУ. Ниже рассмотрим только два вида W_раз(jω), которые чаще всего встречаются на практике.

1). Пусть разомкнутая САУ устойчива. Тогда замкнутая САУ будет устойчива, если годограф W_раз(jω) Найквиста, начинаясь на положительной части действительной оси, не охватывает точку –1 действительной оси (рис.1.38а). Если годограф охватывает точку –1 действительной оси (рис.1.38б), то САУ неустойчива (рис.1.38б), а если проходит через точку –1 действительной оси, то САУ находится на грани устойчивости (рис.1.38в).

2). Пусть разомкнутая САУ обладает астатизмом 1-го порядка, являясь САУ, находящейся на грани устойчивости. В этом случае начало годографа W_раз(jω) разомкнутой САУ при ω=0 находится на бесконечности (рис.1.39). Необходимо такой годограф дополнить дугой бесконечно большого радиуса, начинающейся на положительной части действительной оси и заканчивающийся на начале годографа W_раз(jω). Тогда к такому годографу применимы все правила, по которым оценивалась устойчивость как на рис.1.38.

Использование ЛАЧХ для оценки устойчивости САУ

В ведем на построениях критерия устойчивости Найквиста косвенные показатели качества – запас по фазе γ и частоту среза ω_ср (рис.1.40). Запас по фазе γ характеризует удаленность годографа W_раз(jω) от точки с координатой –1 на вещественной оси. Для устойчивости САУ достаточно, чтобы запас по фазе был бы положительным. Чем больше запас по фазе, тем меньше перерегулирование на графике переходного процесса (см. рис.1.41). Считается для качественной САУ достаточно иметь запас по фазе в пределах 30^о…50^о.

Из построений, приведенных на рис.1.40, следует, что:

1) запас по фазе можно рассчитать по выражению частотной характеристики W_раз(jω), подставив в него значение частоты среза ω_ср.

2) на частоте среза ω_ср значение модуля частотной характеристики W_раз(jω) равно единице - , логарифм от такого модуля равен нулю - и, следовательно, значение ЛАЧХ от частотной характеристики W_раз(jω) на частоте среза также равно нулю - ;

3) запас по фазе γ и значение фазочастотной характеристики, вычисленное на частоте среза удовлетворяют равенству

, (1.53)

и, следовательно, запас по фазе определяется по выражению фазочастотной характеристики φ(ω), вычисленное при одной частоте – частоте среза ω_ср.

О писанные свойства построений, приведенных на рис.1.40, позволяют перейти к определению частоты среза из графика ЛАЧХ разомкнутой САУ (рис.1.41).

Частота среза определяется графически как точка пересечения ЛАЧХ L(ω) с осью частоты ω. Далее рассчитывается только одно значение фазы φ(ω_сз) и по выражению (1.53) определяется запас по фазе γ.

Простота построения ЛАЧХ (см. тему 1.4), а также простота вычисления запаса по фазе, обусловливает простое использование критерия устойчивости Найквиста в следующей формулировке:

Замкнутая САУ устойчива, если запас по фазе для разомкнутой САУ положительный, неустойчива, если запас по фазе отрицательный и находится на грани устойчивости при нулевом запасе по фазе.

.