- •Принципы автоматического управления
- •1.2.3. Принцип управления по отклонению (рис.В.4)
- •1.1.3. Передаточная функция
- •1.1.4. Таблица преобразований Лапласа
- •1.1.5. Типовые воздействия и реакции на них
- •1.3. Частотные характеристики линейных сау
- •1.4. Логарифмические амплитудно-частотые характеристики - лачх
- •1.5. Типовые позиционные звенья сау
- •1.6. Типовые дифференцирующие звенья сау
- •1.7. Типовые интегрирующие звенья сау
- •1.8. Структурные схемы сау и их преобразования
- •1.9. Понятие об устойчивости сау. Прямые методы устойчивости. Критерий устойчивости Гурвица. Определение допустимых настроек сау
- •1.10. Критерий устойчивости Михайлова. Определение допустимых настроек сау
- •1.11. Критерий устойчивости Найквиста. И спользование лачх для оценки устойчивости сау
- •1.12. Прямые показатели качества сау. Расчет ошибок регулирования. Статические и астатические сау
- •1.13. Косвенные показатели качества сау и их связь с прямыми показателями качества. Использование лачх для оценки качества сау
- •1.14. Типовые законы регулирования. Влияние
- •1.15. Типовые законы регулирования. Влияние
- •1.16. Типовые законы регулирования. Влияние
- •1.17. Принципиальные электрические схемы типовых регуляторов
- •1.18. Схемы корректирующих устройств на пассивных элементах
- •1.19. Схемы корректирующих устройств на активных элементах
- •1.20. Коррекция линейных сау с помощью местных обратных связей
- •1.21. Пример судовой линейной сау
- •1.22. Сущность процесса синтеза сау. Частотный метод синтеза линейных сау
1.9. Понятие об устойчивости сау. Прямые методы устойчивости. Критерий устойчивости Гурвица. Определение допустимых настроек сау
САУ называется устойчивой, если при t переходный процесс стремится к установившемуся значению. Учитывая то, что в линейных САУ по существу рассматриваются линеаризованные системы, то указанный вид устойчивости справедлив при малых отклонениях от первоначального устойчивого состояния.
Устойчивость можно оценить прямыми методами или при помощи критериев устойчивости.
Прямые методы оценки устойчивости.
Свойство устойчивости может быть определено по графику переходного процесса, по корням характеристического уравнения изображения переходного процесса h(p
Оценка устойчивости либо по графику переходного процесса, либо по корням характеристического уравнения имеет тот недостаток, что её невозможно в общем случае применить к САУ, в передаточной функции которой содержится хотя бы один буквенный коэффициент, так как не существует аналитических методов решения алгебраических уравнений (именно таким уравнением является характеристическое уравнение САУ) выше 3-й степени. По этой же причине неприменима указанная оценка устойчивости на этапе синтеза САУ.
Оценка устойчивости при помощи критериев устойчивости.
В ТАУ для оценки устойчивости применяются критерии устойчивости. Критериями устойчивости называются совокупность процедур и правил, с помощью которых можно установить факт устойчивости САУ без нахождения корней характеристического уравнения. Существуют различные виды таких критериев как алгебраических, так и частотных. Ниже рассмотрены наиболее применимые в ТАУ критерии Гурвица, Михайлова и Найквиста.
Таблица 1.5
Тип корня характеристического уравнения |
Слагаемое в выражении h(t) |
Переходный процесс h(t) |
1. p=0 |
С |
Устойчив |
2. p1=0, p2=0 (два нулевых корня) |
Сt |
Неустойчив |
3. p= (действительный корень) |
|
Устойчив при <0 и неустойчив при >0 |
4. p=j (комплексные корни) |
|
Устойчив при <0 и неустойчив при >0 |
5. p=j (корни чисто мнимые) |
|
На грани устойчивости |
Критерий устойчивости Гурвица
Критерий Гурвица является алгебраическим. Для оценки устойчивости используется характеристический многочлен передаточной функции замкнутой САУ. Структура САУ может быть любой.
Вводная часть к критерию Гурвица.
Пусть замкнутая САУ имеет следующую передаточную функцию
Из коэффициентов характеристического многочлена
составляем матрицу
Порядок заполнения матрицы следующий. Сначала по диагонали матрицы располагают коэффициенты от a1 до an. Затем над диагональными элементами располагают коэффициенты с возрастающими индексами. Если коэффициенты в процессе заполнения все исчерпаны, то ставят 0. Далее под диагональными элементами располагают коэффициенты с убывающими индексами. Если коэффициенты в процессе заполнения все исчерпаны, то ставят 0.
Если хотя бы один определитель Гурвица отрицателен, то САУ неустойчива. Если имеется хотя бы один определитель Гурвица равен нулю при остальных положительных, то САУ находится на границе устойчивости.
.
Определение допустимых настроек САУ.
Если передаточная функция САУ содержит хотя бы один буквенный коэффициент, значение которого может быть любым числом, то с помощью критерия Гурвица можно определить допустимые по условию устойчивости значения такого коэффициента. При двух буквенных коэффициентах возможно совместное определение допустимых значений таких коэффициентов и выделение областей устойчивости на плоскости этих коэффициентов. Покажем это на примере.
С учётом положительности всех коэффициентов характеристического многочлена САУ будет устойчива при одновременном выполнении следующей системы неравенств
САУ будет находиться на границе устойчивости, если будет выполнено хотя бы одно из равенств
.