Контрольная_работа_математике

III. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Классическое определение вероятности.

1.В отделе работают 7 мужчин и 3 женщины. В командировку отобраны 5 человек. Опреде-

лить вероятность того, что среди них 2 женщины.

2.Из шести карточек с буквами И К С Т У Э наугад одну за другой выбирают четыре карточ-

ки и располагают в рад в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово

«СТУК»?

3.Совет директоров состоит из трёх бухгалтеров и четырёх менеджеров. Планируется создать подкомитет из его членов. Какова вероятность того, что все трое в подкомитете будут менеджеры.

4.На складе имеются 15 телевизоров, причём 10 из них изготовлены Симферопольским заво-

дом «Фотон». Найти вероятность, что среди трёх наудачу выбранных телевизоров, нет изготов-

ленных в Симферополе.

5.В папке 10 квитанций, три из которых заполнены неверно. Наудачу извлечены 6 квитанций.

Найти вероятность того, что среди извлечённых – две квитанции заполнены неверно.

6.В группе 13 студентов, среди которых 5 отличников. По списку наудачу отобраны 8 сту-

дентов. Найти вероятность того, что среди них трое отличников.

7.В компьютерном классе 10 машин, 7 из которых подключены к сети Internet. Наудачу вы-

браны 3 машины. Найти вероятность того, что одна из них подключена к сети Internet.

8. Устройство содержит 7 элементов, из которых 3 изношены. При включении устройства включаются случайным образом три элемента. Найти вероятность того, что включенными ока-

жутся два изношенных элемента.

9.В ящике содержится 9 деталей, из них 4 бракованные. Наудачу извлечены 3 детали. Найти вероятность того, что среди извлечённых только одна бракованная.

10.Набирая номер телефона абонент забыл три последние цифры и, помня лишь, что эти циф-

ры разные набирал их наугад. Найти вероятность того, что набранные цифры нужные.

11.В чемпионате института по футболу участвуют 6 команд, 4 из которых представляют фа-

культет экономики. Для жеребьевки декан пригласил трёх капитанов команд. Какова вероятность

того, что все они с факультета экономики?

12.В отделе работают 7 мужчин и 3 женщины. В командировку отобраны 5 человек. Опреде-

лить вероятность того, что среди них только 1 женщина.

13.Совет директоров состоит из 3 бухгалтеров и 4 менеджеров. Планируется создать подко-

митет из его членов. Какова вероятность того, что среди трёх членов подкомитета два бухгалтера.

14.На складе имеется 15 телевизоров, причём 10 из них изготовлены симферопольским заво-

дом «Фотон». Найти вероятность того, что среди четырех выбранных наудачу телевизоров, два те-

левизора Симферопольского завода.

15. Устройство содержит 7 элементов, из которых 3 изношены. При включении устройства включаются случайным образом три элемента. Найти вероятность того, что включёнными ока-

жутся изношенные элементы.

16.В ящике содержится 10 деталей, из них 4 бракованные. Наудачу извлечены три детали.

Найти вероятность того, что среди извлчённых нет бракованных.

1

17.Из шести карточек с буквами И К С Т У Э наугад одну за другой выбирают четыре карточ-

ки и располагают в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово

«КУСТ»?

18.Из 30 вопросов, входящих в билеты зачёта студент подготовил 26. Какова вероятность то-

го, что взятый наудачу студентом билет, содержащий 2 вопроса, будет состоять из подготовлен-

ных им вопросов?

19.В папке 10 квитанций, три из которых заполнены не верно. На удачу извлечены 6 квитан-

ций. Найти вероятность того, что среди извлечённых нет неверно заполненных квитанций.

20.В компьютерном классе 10 машин, 7 из которых подключены к сети Internet. Наудачу вы-

браны 3 машины. Найти вероятность того, что все 3 подключены к сети Internet.

21.Декан пригласил на беседу двоих студентов, имеющих задолженности по высшей матема-

тике, через старосту группы. Староста забыл фамилии приглашённых, и отправил двоих из имею-

щихся пяти задолжников. Какова вероятность того, что это нужные декану студенты?

22.Среди 16 студентов группы, из которых 7 – девушки, разыгрывается 6 билетов, причём каждый может выиграть только 1 билет. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки.

23.В отделе работают 6 мужчин и 4 женщины. В командировку отобраны 5 человек. Опреде-

лить вероятность того, что среди них нет женщин.

24.Совет директоров состоит из 3 бухгалтеров и 4 менеджеров. Планируется создать подкоми-

тет из его членов. Какова вероятность того, что среди трёх членов подкомитета два менеджера?

25.На складе имеются 15 телевизоров, причём 10 из них изготовлены Симферопольским заво-

дом «Фотон». Найти вероятность, что среди четырёх наудачу выбранных телевизоров, все телеви-

зоры Симферопольского завода.

26. Устройство содержит 7 элементов, из которых 3 изношены. При включении устройства включаются случайным образом три элемента. Найти вероятность того, что включёнными ока-

жутся изношенные элементы.

27.В ящике содержится 10 деталей, из них 4 бракованные. Наудачу извлечены три детали.

Найти вероятность того, что среди извлеченных нет годных.

28.В чемпионате института по футболу участвуют 6 команд, 4 из которых представляют фа-

культет экономики. Для жеребьевки декан пригласил трёх капитанов команд. Какова вероятность

того, что двое из них с факультета экономики?

29.Из шести карточек с буквами И К С Т У Э наугад одну за другой выбирают четыре карточ-

ки и располагают в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что можно будет прочесть

СИЭУ?

30.В папке 10 квитанций, три из которых заполнены не верно. На удачу извлечены 6 квитан-

ций. Найти вероятность того, что среди извлечённых только одна квитанция заполнена неверно.

Задание 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.В мешке смешаны нити, среди которых 80% белые, а остальные – красные. Определить ве-

роятность того, что вынутые на удачу 2 нити окажутся одного цвета.

2.Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течении смены его внимания по-

требует первый станок равна 0,3, второй – 0,35, третий – 0,15. Найти вероятность того, что в тече-

нии смены внимания рабочего потребуют какие-либо 2 станка. 2

17.В одном ящике 3 белых и 7 красных шаров, в другом 6 белых и 4 красных. Из каждого ящика наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет извлечён белый шар.

18.Вероятность того, что в течении одной смены станок выйдет из строя равна 0,1. Найти ве-

роятность того, что не произойдёт ни одной неполадки за три смены.

19.В первом ящике 1 белый, 3 красных и 1 синий шар, во втором 3 белых, 2 красных и 5 синих шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров нет синих.

20.В мешке смешаны нити, среди которых 80% белые, а остальные – красные. Определить ве-

роятность того, что вынутые на удачу 2 нити окажутся разных цветов.

21.Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течении смены его внимания по-

требует первый станок равна 0,3, второй – 0,35, третий – 0,15. Найти вероятность того, что в тече-

нии смены внимания рабочего потребует хотя бы один станок.

22.Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих устройства. Вероят-

ность того, что при аварии сработает первое устройство равна 0,7, второе – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы одно устройство.

23. В механизм входят три детали. Работа механизма нарушается, если хотя Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство равна 0,7, второе – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сра-

ботает хотя бы одно устройство.бы одна деталь выйдет из строя. Вероятность выйти из строя для первой детали – 0,1, для второй – 0,15, для третьей – 0,05. Найти вероятность того, что работа ме-

ханизма будет нарушена.

24.Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос равна 0,9, на второй – 0,6, на третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить по крайней мере на два вопроса.

25.Заводом послана автомашина за различными материалами на четыре базы. Вероятность на-

личия нужного материала на первой базе равна 0,7, на второй -0,9, на третьей – 0,75, на четвёртой

–0,8. Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.

26.Из партии деталей контролёр отбирает стандартные. Вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартная, равна 0,85. Найти вероятность того, что из трёх проверенных деталей хотя бы одна нестандартная.

27.Вероятность того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором, третьем ящике соответственно равны 0.7, 0.5, 0.9. Найти вероятность того, что деталь содержится, по крайней мере, в двух ящиках.

28.Студент записан в три библиотеки, в которых он разыскивает нужную ему книгу по комби-

наторике. Вероятность найти книгу в первой библиотеке равна 0.2, во второй – 0.7, в третьей – 0.5.

Найти вероятность того, что книгу можно найти, по крайней мере, в двух библиотеках.

29. В одном ящике 3 белых и 7 красных шаров, в другом 6 белых и 4 красных. Из каждого ящика наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что оба извлеченных шара красные.

4

30. В первом ящике 1 белый, 3 красных и 1 синий шар, во втором 3 белых, 2 красных и 5 синих шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров нет белых шаров?

Задание 3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

1.Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 4 белых и 6 красных шаров, во втором 5 белых и 10 красных. Наудачу выбирают один ящик и извлекают из него шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется белым?

2.Предприятие имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В, С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей бракованные, В – 5% и С – 6%. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная.

3.В студенческой группе 20 человек, из них 4 человека сдали экзамен по высшей математике на "отлично", 11 на "хорошо" и 5 на "удовлетворительно". Вероятность решить предложенную задачу для отличника составляет 0.9, для хорошиста 0.8, для троечника 0.7. Определить вероятность того, что наудачу выбранный студент не решит задачу.

4.В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника 0.9, для велосипедиста 0.8 и для бегуна 0.75. Найти вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен не выполнит норму.

5.В первой урне 3 белых и 7 черных шаров, во второй – 6 белых и 4 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар ранее находился во второй урне, если известно, что он белый.

6.Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы второго курса 4 студента, из второй группы 6 студентов, из третьей 5 студентов. Вероятность того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0.6, 0.9, 0.5. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент не попадет в сборную.

7.В первом ящике 20 деталей, из них 15 стандартные. Во втором ящике 25 деталей, из них 20 стандартные. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика – стандартная.

8.Сборщик получил 5 коробок деталей, изготовленных заводом №1 и 4 коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0.9, а заводом №2 – 0.72. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, сто извлечена стандартная деталь.

9.В студенческой группе 25 человек, из них 5 человека сдали экзамен по высшей математике на "отлично", 12 на "хорошо" и 8 на "удовлетворительно". Вероятность решить предложенную задачу для отличника составляет 0.9, для хорошиста 0.8, для троечника 0.7. Определить вероятность того, что наудачу выбранный студент решит задачу.

10.На заводе изготовляют комплектующие детали. Первая машина производит 25% всех изделий, вторая 35%, третья 40%. Брак составляет соответственно 5%, 4% и 10%. Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь имеет дефект?

5

11.В группе спортсменов 15 лыжников, 9 велосипедистов и 6 бегунов. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника 0.95, для велосипедиста 0.9 и для бегуна 0.7. Найти вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен выполнит норму.

12.Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы второго курса 5 студентов, из второй группы 4 студента, из третьей 6 студентов. Вероятность того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0.6, 0.9, 0.7. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент попадет в сборную.

13.Предприятие имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В, С. На долю фирмы А приходится 45% общего объема поставок, В – 25% и С – 30%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей – бракованные, В – 8% и С – 7%. Какова вероятность того, что взятая наугад и оказавшаяся бракованной деталь получена от фирмы А?

14.В первом ящике 30 деталей, из них 20 стандартные. Во втором ящике 20 деталей, из них 15 стандартные. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика – бракованная.

15.Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 10 белых и 5 черных шаров, во втором 3 белых и 7 черных. Наудачу выбирают один ящик и извлекают из него шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется белым?

16.Сборщик получил 4 коробки деталей, изготовленных заводом №1 и 6 коробок деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0.7, а заводом №2 – 0.8. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Извлечена стандартная деталь. Определить вероятность того, что она изготовлена заводом №2.

17.На заводе изготовляют комплектующие детали. Первая машина производит 30% всех изделий, вторая 50%, третья 20%. Брак составляет соответственно 7%, 6% и 10%. Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь стандартная?

18.Предприятие имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В, С. На долю фирмы А приходится 40% общего объема поставок, В – 25% и С – 35%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей – бракованные, В – 4% и С – 6%. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь бракованная?

19.В первой урне 5 белых и 15 черных шаров, во второй – 13 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – белый.

20.В студенческой группе 20 человек, из них 4 человека сдали экзамен по высшей математике на "отлично", 11 на "хорошо" и 5 на "удовлетворительно". Вероятность решить предложенную задачу для отличника составляет 0.9, для хорошиста 0.8, для троечника 0.7. Наудачу выбранный студент решил задачу. Определить вероятность того, что это отличник.

21.Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 14 белых и 6 красных шаров, во втором 15 белых и 10 красных. Наудачу выбирают один ящик и извлекают из него шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется красным?

22.В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника 0.9, для велосипедиста 0.8 и для бегуна 0.75. Нау-

дачу выбранный спортсмен выполнил норму. Определить вероятность того, что это велосипедист.

6

23.На заводе изготовляют комплектующие детали. Первая машина производит 25% всех изделий, вторая 35%, третья 40%. Брак составляет соответственно 6%, 4% и 9%. Случайно выбранная деталь оказалась бракованная. Какова вероятность того, что она была произведена первой машиной?

24.Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы второго курса 4 студентов, из второй группы 6 студента, из третьей 5 студентов. Вероятность того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0.6, 0.8, 0.5. Наудачу выбранный студент попал в сборную. Определить вероятность того, что это студент из первой группы.

25.Сборщик получил 6 коробки деталей, изготовленных заводом №1 и 4 коробок деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0.8, а заводом №2 – 0.75. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. вероятность того, что извлечена бракованная деталь.

26.На заводе изготовляют комплектующие детали. Первая машина производит 40% всех изделий, вторая 35%, третья 25%. Брак составляет соответственно 5%, 4% и 9%. Случайно выбранная деталь оказалась стандартной. Какова вероятность того, что она была произведена третьей машиной?

27.Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 10 белых и 15 черных шаров, во втором 13 белых и 17 черных. Наудачу выбирают один ящик и извлекают из него шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется черным?

28.Предприятие имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В, С. На долю фирмы А приходится 35% общего объема поставок, В – 25% и С – 40%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей – бракованные, В – 5% и С – 7%. Какова вероятность того, что взятая наугад и оказавшаяся стандартной деталь получена от фирмы В?

29.В первой урне 15 белых и 5 черных шаров, во второй – 14 белых и 6 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – черный.

30.Сборщик получил 14 коробок деталей, изготовленных заводом №1 и 16 коробок деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0.75, а заводом №2 – 0.8. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Извлечена нестандартная деталь. Определить вероятность того, что она изготовлена заводом №1.

Задание 4. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли.

1.Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди

600взятых наугад изделий 25 бракованных.

2.Вероятность получения хорошего результата при проведении маркетинговых исследований равна 0.7. Найти вероятность наивероятнейшего числа удачных исследований, если общее их количество равно 8.

3.Среди семян ржи имеется 0.2% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить не более 3 семян сорняков?

4.Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0.4. Найти вероятность того, что при 550 испытаниях успех наступит не менее 210 и не более 240 раз.

7

5.Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммуникатор в течение часа, равна 0.01.

Телефонная станция обслуживает 900 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа по-

звонят пять абонентов?

6.В первые классы должно быть принято 400 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 200 девочек, если вероятность рождения мальчика 0.515.

7.Вероятность рождения мальчика 0.515, а девочки – 0.485. В некоторой семье шестеро де-

тей. Найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек.

8.Имеется группа, состоящая из 500 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.

9.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0.8. Найти вероятность того,

что при 300 выстрелах мишень будет поражена не менее 230 раз.

10. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар воз-

вращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероят-

ность того, что из четырех вынутых шаров окажется два черных?

11. Известно, что 5% продукции, поставляемой заводом на торговую базу, не удовлетворяет всем требованиям стандарта. На базу поступило 9 изделий. Найти наивероятнейшее число изде-

лий, удовлетворяющих требованиям стандарта, и вычислить вероятность того, что среди посту-

пивших окажется наивероятнейшее число годных изделий.

12. Найти вероятность того, что событие А наступит 75 раз в 400 испытаниях, если вероят-

ность события А в каждом испытании равна 0.2.

13. Вероятность изготовления нестандартной детали на станке-автомате равна 0.003. Найти ве-

роятность того, что среди 1000 деталей окажется 4 нестандартных.

14.Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди семи взятых наугад изделий два бракованных?

15.Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0.07. Определить вероятность того, что из шести наудачу отобранных в течение смены дета-

лей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску?

16. Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх не ме-

нее пяти раз?

17. Вероятность появления события А равна 0.6. Какова вероятность того, что при 800 испыта-

ниях события А появится не более 470 раз?

18.Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0.3. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях успех наступит 110 раз?

19.В первый класс должно быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика 0.515.

20.Вероятность рождения мальчика 0.515, а девочки – 0.485. В некоторой семье шестеро де-

тей. Найти вероятность того, что среди них нет девочек.

21. Вероятность появления события А равна 0.4. Какова вероятность того, что при 600 испыта-

ниях событие А появится не менее 230 раз?

8

22. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар воз-

вращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероят-

ность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?

23. Вероятность получения хорошего результата при проведении маркетинговых исследований равна 0.6. Найти вероятность наивероятнейшего числа удачных исследований, если общее их ко-

личество равно 7 и вероятность этого числа исследований.

24. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0.85. Сделано 7 выстрелов. Определить ве-

роятность наивероятнейшего числа промахов.

25. Найти вероятность того, что событие А наступит не менее 75 и не более 90 раз в 400 испы-

таниях, если вероятность события А в каждом испытании равна 0.2.

26. Вероятность изготовления нестандартной детали на станке-автомате равна 0.003. Найти ве-

роятность того, что среди 1000 деталей окажется не более 2 нестандартных.

27. Вероятность появления события А равна 0.6. Какова вероятность того, что при 8 испытани-

ях событие А появится не более трех раз?

28. Среди семян ржи 0.4% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 се-

мян обнаружить 5 семян сорняков?

29. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0.9. Найти вероятность того,

что при 200 выстрелах мишень будет поражена ровно 175 раз.

30. Четыре элемента вычислительного устройства работают независимо друг от друга. Вероят-

ность безотказной работы для каждого элемента равна 0.75. Найти вероятность того, что ни один элемент не будет работать безотказно.

Задание 5. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики.

Закон распределения дискретной случайной величины X задан в виде таблицы.

Найти:

1)математическое ожидание M(X);

2)дисперсию D(X);

3)среднее квадратическое отклонение (X);

4)начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядков.

Построить многоугольник распределения.

9

Задание 6. Система двух случайных величин.

Распределение Вероятностей дискретной двумерной случайной величины задано таблицей.

Найти:1) законы распределения составляющих X и Y;

1)математические ожидания и дисперсии составляющих;

2)коэффициент корреляции;

10