5.1. Одно продуктова економічна модель

Введемо в модель такі фактори:

1. Основні виробничі фонди К.

2. Праця L.

Тоді валовий продукт Y є функція факторів K та L. Отже, маємо:

(5.1)

Валовий продукт розподіляємо так:

(5.2)

W – виробниче споживання; Z – кінцевий продукт.

Кінцевий продукт Z розподіляємо так:

(5.3)

I – інвестиції; C – невиробниче споживання.

Інвестиції розподіляємо так:

(5.4)

A – амортизація ОВФ; V – швидкість вводу в дію ОВФ.

Схематично це зображено на рис. 1.

Рис. 1

Підставимо в формулу (5.2) значення (5.3) та (5.4) і отримаємо балансову модель одно продуктової економіки

(І)

Виконаємо аналіз моделі (І).

1. Виробниче споживання залежить від валового продукту. Отже, маємо:

0<а<1 (5.5)

2. Амортизація залежить від капіталовкладень К:

<μ<1

3. Швидкість V вводу в дію основних виробничих фондів (ОВФ) залежить від швидкості капіталовкладень:

(ІІ)

Враховуючи (5.5), (5.6) та (ІІ), формула (І) остаточно запишеться так:

(ІІІ)

Ця модель служить джерелом аналізу економіки фірми, підприємства, держави, оскільки являє собою диференціальне рівняння, яке має безліч розв’язків.

Введемо поняття темпу росту фактора праці L наступним виразом

(IV)

Це диференціальне рівняння першого порядку з розділяючи ми змінними. Розв’язавши це рівняння, отримаємо:

(V)

L₀ – це значення L(0).

Введемо відносні величини:

1) продуктивність праці (5.7)

2) фондоозброєність працівника (5.8)

3) споживання працівника (5.9)

Із (5.8) маємо

(5.10)

Диференціюємо (5.10)

(5.11)

У виразі (5.11) підставимо вираз (IV). Маємо:

(5.12)

вираз (ІІІ) почленно ділимо на L і, врахувавши (5.12), отримаємо:

(β5)

Рівність (β5) – балансова модель Солоу.

Американські економісти Кобб та Дуглас виконали математичний аналіз моделі Солоу і встановили таку формулу:

(β6)

Формула (β6) має назву виробнича функція Кобба-Дугласа.

Наголосимо, що t – час;ω – норма технічного процесу.

5.2. Властивості виробничої функції Кобба-Дугласа

І. Нехай за певний час капітал K та праця L зросли в λ раз. Це означає, що K=λK; L=λL. Підставивши ці значення в формулі (β6), отримаємо:

(VI)

Із формули (VI) випливають такі висновки:

1) α+β>1 (5.13)

Економіка розвивається інтенсивно.

2) α+β=1 (5.14)

Економіка розвивається екстенсивно.

3) α+β<1

Економіка занепадає.

ІІ. Обчислимо еластичність капіталу К.

Висновок: α – еластичність капіталу. Легко показати, що константа β це є еластичність праці.

Таким чином, ми вияснили економічний зміст усіх параметрів, які входять у формулу (β6).

5.3. Алгоритм обчислення параметрів функції Кобба-Дугласа

Маємо формулу виробничої функції Кобба-Дугласа

Логарифмуємо цей вираз.

(5.13)

Введемо такі співвідношення:

Враховуємо фактори X₂=t; Х₃=lnK; X₄=lnL. Тоді рівність (5.13) остаточно запишеться так:

(5.14)

Формула (5.14) являє собою регресійну модель для факторів X₂; Х₃; X₄. Всі обчислення виконуються згідно теорії, висвітленій у лекціях № 3 та № 4. В літературі [1] виведено блок-схему для обчислення формули Кобба-Дугласа.