2.2. Стандартна модель оптимізації
Ця модель інформує, що виробництво повністю не використовує сировину.
Покажемо, що модель (α1) зводиться до моделі (αα).
Введемо фіктивні зміни Хn+1; Xn+2; Xn+3; і т.д. Xn+m з фіктивними нульовими цінами Сn+1=Сn+2=Сn+3=...=Сn+m=0.
До кожної нерівності формули (2.5) плюсуємо одну фіктивну величину.
Тоді модель α1 запишеться так:
Будемо аналізувати модель (α2). Якщо Х1=X2=X3=... =Xn=0, то отримаємо Хn+1=r1; Xn+2=r2; Xn+3=r3; …=Xn+m=rm.
Це допустимий базисний розв’язок.
Тоді Wmax=0. Отже, маємо:
С
=(0
0 0 ... 0);
С
=(С1
С2
С3
... Сn);
Матриця Q=A.
Обчислюємо симплекс-матрицю Δ:
Δ = C Q – =(0 0 ... 0)∙A – = – ;
Ще раз наголосимо, що в цьому випадку маємо:
– = – (С1 С2 С3 ... Сn); (α)
W =C R = 0.
Маємо
всі дані для формування першої
симплекс-таблиці Данціга, яка буде мати
m+2
рядки та m+n+2
стовпців, які задаються векторами
;
та R.
Отже, для стандартної моделі максимізації
ніяких обчислень виконувати не треба.
Приклад. Обчислимо оптимальний розв’язок задачі про максимізацію для такої математичної моделі:
Розв’язування згідно моделі (α2) маємо:
Наголосимо, що X6, X7 та X8 – фіктивні невідомі; С6=С7=С8=0. Ми маємо всю інформацію для формування першої симплекс-таблиці Данціга, яка має 5 рядків та 10 стовпців.
Т.1
В Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
5 |
3 |
8 |
1 |
0 |
0 |
750 |
|
1 |
4 |
2 |
5 |
4 |
0 |
1 |
0 |
550 |
|
3 |
2 |
3 |
5 |
10 |
0 |
0 |
1 |
860 |
|
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Остання таблиця (третя) виглядає так:
Т. 3
В Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
5/2 |
-2 |
1 |
1 |
1/2 |
-1/16 |
45 |
|
0 |
1 |
3/10 |
1 |
1/5 |
0 |
3/10 |
-1/10 |
79 |
|
1 |
0 |
4/5 |
1 |
16/5 |
0 |
-1/5 |
1/15 |
234 |
|
0 |
0 |
11/5 |
7 |
74/5 |
0 |
1/5 |
8/3 |
1486 |
Економічний аналіз задачі.
Вигідно виробляти Х1=234 одиниці продукції першого виду та Х2=79 одиниць продукції другого виду. Реальна продукція Х3=Х4=Х5=0.
Обрахуємо затрату сировини.
∙
=
=
Ми мали запас сировини першого виду 750 одиниць. Отже, залишається 750-705=45.
Сировину другого та третього виду буде використано повністю.
Максимальна вартість:
Wmax= (5 4 3 2 2) ∙ = 5∙234+4∙79=1486
Математична модель стандартної форми про мінімізацію має вигляд:
Ця модель методом двоїстості зводиться до стандартної моделі максимізації:
Приклад. Обчислити оптимальний розв’язок задачі, яка задана такою математичною моделлю:
Розв’язання.
Переходимо до двоїстої моделі згідно формули (αβγ).
Введено фіктивні невідомі Y4; Y5; Y6; Y7; Y8 з ціною С4=С5=С6=С7=С8=0.
Тоді перша симплекс-таблиця Данціга має такий вигляд.
Т. 1
В Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
|
3 |
4 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
3 |
|
5 |
2 |
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
4 |
|
3 |
5 |
5 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
5 |
|
8 |
4 |
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
6 |
|
-350 |
-240 |
-430 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Остання, третя таблиця виглядає так.
Т. 3
В Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39/80 |
0 |
0 |
1 |
1/16 |
0 |
0 |
- |
5/16 |
|
7/16 |
1 |
0 |
0 |
5/16 |
0 |
0 |
-1/16 |
9/16 |
|
9/4 |
0 |
0 |
0 |
-1/4 |
1 |
0 |
1/5 |
7/4 |
|
-37/16 |
0 |
0 |
0 |
- |
0 |
1 |
-1/8 |
5/16 |
|
5/8 |
0 |
1 |
0 |
-1/8 |
0 |
0 |
3/20 |
3/8 |
|
87/4 |
0 |
0 |
0 |
85/4 |
0 |
0 |
155/4 |
1185/4 |
Економічний аналіз задачі.
Згідно теорії економічної рівноваги фон Неймана, маємо таку формулу:
Wmin=
C
X;
C
X
= R
Y
(β1)
Wmax= R Y
Вираз C X дає максимальну вартість товару, оскільки C - матриця ціни. R – матриця запасів сировини. Тоді матриця Y – це матриця ціни для сировини. Отже, маємо ринкову рівновагу фон Неймана.
Тепер перевіримо формулу (β1) для нашої задачі.
Згідно таблиці 3 ми отримали Y1=0; Y2=9/16; Y3=5/16.
Решта невідомих – фіктивні.
Отже, максимальна ціна сировини така:
∙
Тепер наголосимо наступний факт.
Остання таблиця Данціга (таблиця 3) дає інформацію про розв’язок для матриці Х.
Поступаємо так. Перша таблиця Данціга (таблиця 1) мала базисні вектори
В останній таблиці Данціга (таблиці 3) в рядку Δ проти цих векторів маємо: Х1=0; Х2=85/4; Х3=0; Х4=0; Х5=155/4
Тепер ми можемо підрахувати вартість продукції:
Wmin=
Задача розв’язана вірно, оскільки виконується рівність (β1).
Лекція 3. Матриця експерименту.
Основне математичне рівняння регресії.
Основні формули лінійної регресії.
Регресійна модель для України
План
3.1. Матриця експерименту та її застосування.
3.2. Метод BLUE.
3.3. Застосування лінійної регресії для економіки України.