1.2. Допустимі базисні розвязки.

Маємо систему m рівнянь, яка містить n невідомих. В розгорнутій матричній формі ця система має вигляд:

(1.1)

Умовимось, що m<n.

Цілком зрозуміло, що в компактній матричній формі система (1.1) запишеться так:

AX=R (α)

Маємо: dim A= ; dim X= ; dim R= ;

Вимагаємо, щоб ранг матриці А був рівним m.

Систему (1.1) можна записати у векторній формі так:

Х_{1 1}+Х_{2 2}+Х_{3 3}+...+Х_{к к}+...+Х_{n n}= (1.2)

Наголосимо, що вектор ₁ – це перший стовпець матриці А; вектор ₂ – другий стовпець матриці А і т.д.; нарешті _n – n-й стовпець матриці А. Вектор – вектор вільних членів. Таким чином, система (α) може бути записана, як формула (1.1) або як формула (1.2).

Як відомо, з матриці А можна вибрати способами квадратну матрицю В, яка має m-рядків і m-стовпців. Матрицю В назвемо базисною,а стовпці матриці В-базисними векторами. Решта стовпців матриці А назвемо небазисними векторами; матрицю N, в яку входять небазисні вектори назвемо небазисною матрицею. Отже, маємо [4]:

Ẩ=B N (β)

Враховуючи формулу (β), система (α) запишеться так:

BX_B+NX_N=R (δ)

Приклад 1: Дано систему

∙ =

Звести цю систему до вигляду (δ), вважаючи базисними векторами .

Розв’язування.

Ясно, що m=3; n=6. Формуємо базисну матрицю В, яка має своїми стовпцями перший, четвертий та шостий стовпці матриці А; небазисна матриця містить стовпці: другий, третій та п”ятий. Отже, формула (δ) для нашого прикладу має такий вигляд:

∙ + ∙ =

Повернемось до формули (δ).

Для матриці В обчислимо методом приклеювання обернену матрицю В^-1 [5].

Рівність (δ) зліва множимо на В^-1:

B^-1BX_B+B^-1NX_N=B^-1R (1.3)

Ясно, що B^-1B=1, де 1-одинична матриця. Позначимо решту співмножників так:

Q=B^-1N (1.4)

=B^-1R (1.5)

Остаточно, враховуючи (1.4) та (1.5), маємо

(γ)

Формула (γ) називається канонічною формою системи (α).

Якщо покласти X_N=0, то отримаємо:

Х_В= (ε)

Матриця-стовпець формули (ε) називається базисним розв’язком системи (α).

Наголосимо, що існує способів отримання базисних розв”язків системи (α).

Приклад 2. Дано систему:

∙ =

Обчислити базисні розв’язки, якщо базисні вектори

Розв’язування.

Поскільки базисні вектори відомі, то базисна матриця В має вигляд:

=

Небазисна матриця N містить вектори . Отже, маємо:

N=

Методом приклеювання обчислюємо обернену матрицю B^-1:

= ∙

Обчислюємо матрицю Q згідно формули (1.4):

Q = ∙ ∙=

Згідно формули (1.5), обсислюємо :

= ∙ ∙ ∙10 =

Застосовуємо формулу (δ):

+ ∙ =

Поклавши Х₁=Х₃=Х₅=0, отримаємо: Х₂=4; Х₄=12; Х₆=40.

Перевірка

∙ = =

Висновок. Базисні розв’язки задовільняють систему, задану в прикладі №2.

Означення. Базисний розв’язок Х_В називається допустимим, якщо всі елементи матриці Х_В невід’ємні. Ми весь час будемо працювати тільки з допустимими базисними розв’язками.

1.3. Матриця Данціга

Нехай ринок держави має у вільному продажу Х₁ одиниць товару А; Х₂ одиниць товару В; Х₃ одиниць товару С і т.д. Х_n одиниць товару Z. Відома ціна одиниці кожного товару:

С₁ – ціна одиниці товару А;

С₂ – ціна одиниці товару В;

С₃ – ціна одиниці товару С;

...............................................

С_n – ціна одиниці товару Z.

Тоді легко обчислити загальну вартість товарної продукції:

W=C₁X₁+C₂X₂+C₃X₃+…+C_nX_n (1.6)

Формулу (1.6) зручно записати у матричній формі:

W=C^TX (1.7)

Х= С^Т=(С₁С₂С₃... С_n)

Цілком зрозуміло, що на виробництво товарів потрібна сировина. Отже, ми повинні врахувати витрати сировини та її запаси. Поміркуємо так. Для виготовлення Х_к одиниць товару потрібно:

а_1к одиниць сировини 1 виду;

а_2к одиниць сировини 2 виду;

а_3к одиниць сировини 3 виду;

..................................................

а_mк одиниць сировини m-того виду.

У векторній формі цей факт залишається таким чином:

а_ikX_k; i=1, (1.8)

Запаси сировини – обмежені:

а_ikX_k=r_K (1.9)

(1.10)

Бачимо, що формула (1.10) – це векторна форма для системи (1.2), а формула (1.2) еквівалентна формулі (1.1). Наголосимо, що у формулі (1.10) маємо n+1 векторів: Тепер формулу (1.10) запишемо так:

∙ = (1.11)

Економічний зміст виразу (1.11) такий:

1. Матриця А – матриця витрат. dim A=m .

2. Матриця-стовпець Х – матриця товару. dim X=n 1.

3. Матриця R – матриця запасів. dim R=m .

Компактно маємо:

(1.12)

Застосуємо метод знаходження допустимого базисного розв’язку, тобто зведемо систему (1.12) до канонічної форми:

(1.13)

Для спрощення вважаємо, що базисні вектори Р₁; Р₂; Р₃; ...; Р_m.

Тепер розпишемо вираз (1.13) у розгорнутій формулі:

∙ + ∙ = (E)

Формула (Е) інформує, що кількість векторів не змінилась; інформує про базисні вектори, про допустимі базисні вектори, та про допустимі базисні розв’язки, які отримаємо, коли Х_m+1=X_m+2=X_m+3=…=X_m+n=0.

Наголосимо, що формулу (Е) зручно записати у вигляді таблиці Данціга.

Ця таблиця має m+2 рядки та n+2 стовпці. Наголосимо, що в лівій верхній клітинці літера В означає вектори, а літера Б означає базис.

Наголосимо, що в таблиці Данціга останній рядок має заголовок і цей рядок ми залишаємо незаповненим.

Таблиця Данцiга

B Б
	1	0	0	0		0
	0	1	0	0		0
	0	0	1	0		0
	0	0	0	1		0
	0	0	0	0		0
	0	0	0	0		1

Приклад № 3. Побудувати таблицю Данціга для такої економічної моделі

∙ = ,

якщо базисні вектори

Розв’язування:

В= N=

Обчислюємо В ^-1:

= ∙

Обчислюємо Q=B^-1∙N

Q= ∙ ∙ = ∙

Обчислюємо R:

=B^-1R=Q= ∙ =

Базисний розв’язок Х₁=4; Х₄=14; Х₆=38 допустимий.

Запишемо дану систему у канонічній формі:

∙ + ∙ =

Тепер ми маємо всі дані, щоб сформувати таблицю Данціга, яка має m+2=3+2=5 рядків та n+2=6+2=8 стовпців. Маємо таблицю 1.

Т. 1

В Б
	1	0	0	1	-1/10	1/5	4
	0	1	0	1/2	23/20	1/5	14
	0	0	1	-1/2	3/10	2/5	38

Лекція 2. Симплекс-метод та його застосування

План

2.1. Математична модель оптимального розвитку економіки.

2.2. Стандартна модель оптимізації.

2.3. Приклад