4.1. Коефіцієнт кореляції та його властивості

Нехай ми маємо один фактор Х₂ та результуючий фактор Y. Для одного фактора індекс 2 опускаємо. Лінійна регресія для цього випадку має вигляд:

(4.1)

Цілком зрозуміло, що легко обчислити середні:

(4.2)

Ми ще обчислимо такі середні величини:

(4.3)

Тоді згідно літератури [1] маємо такі формули для дисперсії:

; (4.4)

Для середніх квадратичних відхилень маємо:

(4.5)

Кореляційний момент K_XY обчислюємо за такою формулою:

(4.6)

Означення. Якщо величини Х та Y називаються некорельованими (незалежними).

Для некорельованих величин формули (4.1) не існує.

Якщо то завжди існує залежність (4.1). Коефіцієнт кореляції визначається формулою:

(α4)

Для коефіцієнта кореляції справедлива така оцінка:

(4.7)

Доведення цього факту дивись в [1].

Формулу (α4) в розгорнутому вигляді можна записати так:

(4.8)

Доведення цього факту дивись [1].

Нехай ми маємо фактори Х₂; Х₃; Х₄; ...; Х_m та результуючий фактор Y.

Присвоїмо результуючому фактору Y номер 1.

Тоді можна обчислити коефіцієнт кореляції між фактором номер 1 та фактором K=2,3,4, ...,. m. Маємо:

(4.9)

Цю формулу можна модифікувати:

(4.10)

Обчислюємо коефіцієнт кореляції для факторів Х_K та X_P за такою формулою:

(4.11)

Маючи ці значення із формули (4.7) та (4.8) формулюємо кореляційну матрицю:

(α4)

4.2. Кореляційна матриця та її властивості

Матриця COR має такі властивості:

1. матриця COR симетрична;

2. всі елементи матриці COR по модулю менші одиниці;

3. dim COR=m*m.

Економічний аналіз матриці cor

Цілком зрозуміло, що в першому рядку матриці COR записано коефіцієнти кореляції між факторами Х₂; Х₃; Х₄; ...; Х_m та результуючим фактором Y. Чим ближче по модулю ці фактори наближаються до одиниці, тим тісніший зв’язок між цими елементами. Якщо хоч один вираз , то це означає що фактор X_K не впливає на результуючий фактор Y. Отже, цей фактор потрібно усунути.

Висновок. Перший рядок матриці (перший стовпець) COR не повинен містити нулів.

Число є коефіцієнт кореляції між факторами X_K та X_P. З точки зору економічних процесів та явищ ці фактори повинні бути незалежними. Отже, повинно бути 0 або величиною, яка істотно відрізняється по модулю від одиниці.

Для інформації наведено значення кореляційної матриці для прикладу із лекції № 3.

COR = (α44)

Маємо: Отже, між факторами Х₂ та Y існує сильний кореляційний зв’язок. Це х саме можна сказати про зв’язок між Х₃ та Y.

Також маємо значення

Це означає, що існує високий кореляційний зв’язок між факторами Х₂ та Х₃, але він менш тісний ніж зв’язок Х₂ та Y і Х₃ та Y.

4.3. Застосування кореляційних матриць

Введемо такі величини:

(4.14)

(4.15)

Згідно формули (α4), ми маємо COR, яка має m рядків та m стовпців.

Мисленно викреслимо в цій матриці перший рядок і перший стовпець. Ми отримаємо матрицю, яка має m-1 рядків та m-1 стовпців.

Обчислимо детермінант цієї матриці, який ми позначимо так:

(4.16)

Тепер із матриці (α4) мисленно викреслимо p-ий рядок і другий стовпець. Отримаємо матрицю, яка має m-1 рядок і m-1 стовпець. Обчислимо детермінант цієї матриці, який позначимо так:

(4.17)

Остаточно, викреслюючи перший рядок та p-ий стовпець отримаємо детермінант

(4.18)

Якщо 1+ - парне число, то визначник не змінює знак; якщо 1+ - непарне число, то визначник змінює знак.

Як показано в монографії [2], коефіцієнт можна обчислити за такою формулою:

(β4)

Для кореляційної матриці економіки України маємо:

Тоді

Як бачимо, ми отримали такі ж значення величини , як в лекції № 3.

Альтернативне значення коефіцієнта детермінації можна обчислити за формулою

(δ4)

Альтернативне обчислення суми квадратів похибок:

(j4)

Лекція 5. Виробнича функція Кобба-Дугласа

План

5.1. Однопродуктова економічна модель.

5.2. Властивості виробничої функції Кобба-Дугласа.

5.3. Алгоритм обчислення параметрів функції Кобба-Дугласа.

5.4. Виробнича функція Кобба-Дугласа для США.