2.1. Математична модель оптимального розвитку економіки

З попередньої лекції нам відомо, що вираз АХ=R означає зв’язок між матрицею сировини А, матрицею запасів R та матрицею товарів Х. Ця рівність гарантує повне використання сировини. Також нагадаємо рівність – W=C^TX. W – повна вартість товарів заданих матрицею Х. Тепер ми хочемо максимізувати вартість товару і повністю використати всю сировину. Математична модель має такий вигляд:

Модель (αα) є найголовнішою математичною залежністю для фірми, підприємства чи держави. Тепер почнемо аналізувати дану модель.

І етап. Зводимо рівність АХ=R до канонічної форми:

Х +QX = (2.1)

Наголосимо, що матриця стовпець повинна мати додатні члени.

ІІ етап. Вартість товару розбиваємо на суму базисних та небазисних величин.

W_max=C ∙X + ∙X (ββ)

ІІІ етап. Із виразу (2.1) маємо

Х = -QX (2.2)

це значення підставляємо у формулу (ββ). Маємо:

W_max=C ∙ -(C Q - )∙X (δδ)

IV етап. Аналіз формули (δδ).

Введемо такі позначення:

W =C ∙ (2.3)

(2.4)

Тоді залежність (δδ) в кінцевому підсумку запишеться так:

W_max=W₀ – Δ∙Х (γγ)

Формула (2.4) називається симплекс-матрицею. Обчислимо розмірність симплекс матриці Δ.

dim Δ=[(1 m) (m (n – m)) – 1 (n – m)] = 1 (n – m).

Отже, матриця Δ має один рядок та n-m стовпців.

Обчислимо розміреність матриць W₀

dim W₀ = [(1 m) (m 1)] = 1 1

Висновок. W₀ – скаляр.

V етап. Умови оптимальності. Як показано у монографії [4], необхідною і достатньою умовою оптимального розв’язку є умова, що всі елементи матриці Δ невід’ємні, тобто там можуть бути як додатні числа так і нулі.

Якщо ця умова виконується, то маємо:

W_max = W₀ (εε)

Якщо хоч один член матриці Δ від’ємний, то формула (εε) невірна. Тоді застосовуємо метод введення в базис нового вектора. Цей метод нам знайомий із математичного програмування. Тепер наголосимо слідуюче. В таблиці Данціга ми не заповнили останній рядок. Він заповнюється наступним чином:

1. перші m стовпці – базисні вектори. Отже, записуємо нулі.

2. Матриця Δ - це матриця-рядок:

Δ = (Δ₁Δ₂Δ₃Δ₄...Δ_n-m)

В останньому рядку після m нулів записуємо ці числа. Отже, в стовпці буде записано Δ_1; стовпці буде записано Δ₂ і т.д. І в стовпці буде записано число Δ_n-m.

Таким чином, будуть заповнені всі клітини останнього рядка, крім правої крайньої клітини.

3. В нижню праву клітину записуємо значення W₀.

Приклад № 4. Обчислити оптимальний розв’язок задачі, заданої такою математичною моделлю:

∙ =

W = (10 11 12 13 14 15) ∙ ;

X

Нехай базисні вектори такі: .

Тоді небазисні вектори .

= N=

Методом приклеювання обчислюємо В^-1:

= ∙ ;

Обчислюємо базисний розв’язок

=B^-1R= ∙ ∙ ∙10 = ;

Базисний розв’язок допустимий.

Обчислюємо матрицю Q:

Q=B^-1N∙ ∙ = ∙ ;

Цілком зрозуміло, що маємо

C = (С₃ С₅ С₆) = (12 14 15);

= (С₁ С₂ С₄)=(10 11 13)

Обчислюємо симплекс-матрицю Δ згідно формули (2.4):

Δ = C Q –

Маємо:

Δ = (12 14 15) ∙ ∙ – (10 11 13) = ∙ (308 279 ) = ∙ (208 169 -38)

Обчислюємо W₀ згідно (2.3):

W =C = (12 14 15) = 822

Формуємо першу таблицю Данціга, яка має m+1=3+2=5 рядків та n=6+2=8 стовпців.

Т. 1

В Б
	-4/5	-2/5	1	4/5	0	0	8
	23/5	24/5	0	2/5	1	0	24
	-8/5	-23/10	0	-2/5	0	1	26
Δ	104/5	169/10	0	-19/5	0	0	822

Із таблиці маємо такі дані: Х₃=8; Х₅=24; Х₆=26. Вартість продукції W₀=822. Отриманий результат не являється оптимальним, оскільки рядок Δ містить від’ємний член (-19/5).

За відомими правилами формуємо другу таблицю Данціга, ввівши в базис вектор замість вектора .

Т. 2

В Б
	-1	-1/2	5/4	1	0	0	10
	5	5	-1/2	0	1	0	20
	-2	-5/2	-1/2	0	0	0	30
Δ	17	15	19/4	0	0	0	860

Отримаємо оптимальний розв’язок:

Х₄=10; Х₅=2; Х₆=30;

Х₁=Х₂=Х₃=0

Вартість продукції W_max=860.

Виконуємо перевірку згідно умови задачі:

Задача розв’язана вірно.