5.3 Рассеяние кристаллической решёткой

5.3.1 Структурный фактор

Если в элементарную ячейку входит несколько атомов, образующих базис кристалла, направления селективного отражения не изменяются. Так, в построении Эвальда эти направления определяет обратная решётка, которая совершенно не зависит от природы базиса, а связана лишь с решёткой кристалла. От базиса кристалла зависит только интенсивность отражений. Картина обратного пространства кристалла будет более полной, если с каждым отражением, положение которого фиксируется по методу Эвальда, тесно связать интенсивность дифрагированного пучка. В результате все узлы обратной решётки окажутся «взвешенными». С каждым узлом, соответствующим определённому семейству плоских сеток, таким образом, связывается число, пропорциональное амплитуде дифрагированного пучка.

_{Пусть в элементарную ячейку кристалла входит} n атомов А₁,А₂,…,А_n. Положение атома А_r по отношению к осям ячейки с параметрами a,b,c определяется координатами ( изменяются от 0 до 1). Падающий луч и отражённый луч соответствуют селективному отражению H,K,L, т.е. . Обозначим через f₁,f₂,…,f_n факторы рассеяния различных атомов решётки, соответствующих углу 2θ между векторами и и длине волны λ. Амплитуда волны, рассеиваемой атомом А_r , равна , где - амплитуда волны, рассеиваемой свободным электроном ( ).

Волна, дифрагированная ячейкой, будет суммой волн, соответствующих различным атомам ячейки. Однако между накладывающимися волнами существует разность фаз. Выразим фазу каждой волны по отношению к той волне, которая рассеивается атомом, помещённым в начало ячейки.

Для этого рассмотрим плоскую проекцию модельной кристаллической структуры, изображенной на рис.16. На рис. 16,а показаны две плоскости (100) кристалла с ромбической элементарной ячейкой.

а

Б

Рис.16

Атомы А, B, С и А' расположены вдоль оси а, перпендикулярной к плоскостям (100). Расстояние между А и А' точно соответствует а-трансляции. Появление рефлекса (100) означает, что рассеянные этими атомами рентгеновские волны совпадают по фазе, т.е. разность хода между ними точно равна одной длине волны, что соответствует разности фаз 2 . Тогда атом В, имеющий относительную координату х = 0.5, должен рассеивать в противофазе. Соответственно разность фаз волн, рассеянных этим атомом и атомами А или А` составит 0.5·2π = π. В общем случае атом С, имеющий относительную координату х, создаст волну, фаза которой будет отличаться от фазы волны, рассеиваемой атомом А на 2πх.

Теперь проанализируем условия существования рефлекса с дифракционным индексом 200 (H00) в той же ячейке (рис. 16,б). Появление такого рефлекса должно означать, что атомы А и В расположены на соседних трансляционных плоскостях, и что разность хода между рассеянными от них лучами 1 и 2 составляет 2π. Это значит, что атом В создаст волну, фаза которой будет отличаться от фазы волны, рассеиваемой атомом А, на 2πHx, где H=2, а х=0.5.

Анализ подобных примеров позволил У. Г. Брэггу заключить, что разность фаз φ между волнами, рассеиваемыми атомами, расположенными в общем положении и в начале координат, связана с их относительными координатами х и индексами H соотношением

φ = 2πHx

или в трехмерном случае

φ=2π(Hx+Ky+Lz) (10)

Если фаза волны, рассеиваемой атомом, расположенным в начале координат, равна нулю, то φ можно считать фазой для волн, рассеиваемых другими атомами.

Волна, дифрагированная ячейкой, будет суммой волн, соответствующих каждому из n атомов ячейки: А₁, А₂, …, А_n. Рассмотрим геометрический способ сложения волн.

На рис.17 представлена амплитуда результирующей волны A как результат векторного сложения волн с амплитудами A₁ и A₂ в ортогональной системе координат C и В. Из рис.17 видно, что

С₁=А₁cosφ₁, C₂=A₂ cosφ₂, C=C₁- C₂= А₁cosφ₁ - A₂ cosφ₂

B₁=A₁sinφ₁, B₂=A₂sinφ₂, B= B₁ + B₂= A₁sinφ₁ + A₂sinφ₂

Рис.17

Из графического представления процедуры сложения волн (см. рис. 17) видно, что квадрат модуля амплитуды A можно определить как

, (11)

где C и В - компоненты амплитуды результирующей волны. Из рис. 17 также следует, что компоненты C и В можно выразить через компоненты амплитуд отдельных волн, как

(12)

(12`)

Рассмотрим теперь способ расчёта, являющийся аналитической интерпретацией при помощи комплексных чисел того геометрического построения, которое дано на рис.17

Графическое представление амплитуды результирующей волны на рис.17 полностью аналогично представлению комплексных чисел на комплексной плоскости. Так, для комплексного числа с = х + iу квадрат модуля будет равен

, (13)

где с^* - комплексно сопряжённая величина, равная с^*=х-iy.

Выражение (13) совпадает с выражением (11). Следовательно результирующую амплитуду А серии волн можно выразить в комплексном виде, как A = C + iB, или, с учетом представлений (12)

. (14)

Следует отметить, что комплексное число A = C + iB можно представить в экспоненциальной форме, пользуясь формулой Эйлера . Тогда

. (15)

Учитывая, что , получим

. (16)

Принимая во внимание выражение (10) перепишем (16) в виде

. (17)

Введём обозначение

. (18)

Комплексное в общем случае число F_HKL называется структурным фактором отражения HKL.

Структурный фактор показывает во сколько раз амплитуда луча, рассеянного элементарной ячейкой кристалла в направлении узла обратной решётки HKL, больше амплитуды рассеяния электроном в том же направлении.

Интенсивность дифрагированного луча пропорциональна квадрату его амплитуды, т.е. квадрату модуля F_HKL:

или . (20)

Согласно уравнению (13) квадрат модуля равен

. (21)

Поэтому в тригонометрической форме квадрат модуля структурного фактора запишется так:

. (22)

Каждый узел обратной решётки HKL связан с определённым значением F_HKL. Узлы со структурным фактором, равным нулю, не участвуют в построении Эвальда, это значит, что соответствующие дифрагированные лучи отсутствуют.

Если решётка простая (без базиса), то для всех узлов обратной решётки структурный фактор равен фактору атомного рассеяния .

В начале обратной решётки, т.е. в точке, которую можно обозначить как узел 000, структурный фактор, согласно (18), равен .

Структурный фактор F₀₀₀ равен суммарному числу электронов в элементарной ячейке кристаллической решётки. Поскольку факторы атомного рассеяния для всех атомов уменьшаются с ростом угла рассеяния, то структурные факторы F_HKL должны убывать при возрастании индексов, и только узлы, расположенные вблизи начала решётки, имеют значительные факторы F_HKL.