Лекции _ Вышка

Содержание

величины в заданный интервал. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения. Вероятностный смысл плотности распределения.

1

Лекция 1

Основные понятия и определения теории вероятностей. Классическое и аксиоматическое определение вероятности. Относительная частота события.

Многие явления в природе, технике, экономике и других областях носят случайный характер, то есть заранее невозможно определить, как будет происходить то или иное явление. Но оказывается, что течение таких явлений может быть описано количественно, если только они наблюдались достаточное количество раз, то есть, носят массовый характер. Прогнозом и моделированием таких явлений занимается теория вероятностей.

Возникла теория вероятностей в XVII в. как попытка создать теорию азартных игр. Родоначальниками этой теории являются французские математики Пьер Ферма (1601-1665) и Блез Паскаль (1623-1662). В дальнейшем теорию вероятности развивали Пьер Симон Лаплас(1749-1827), Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), Симеон Дени Пуассон (1781-1840) и другие.

Введем основные понятия теории вероятностей. Пусть производится некоторый опыт или эксперимент, при котором возможны различные исходы или события. Слово “событие” в быту применяют к значительным явлениям, а в теории вероятностей – ко всем возможным исходам рассматриваемого опыта.

Определение: Различные, исключающие друг друга исходы опыта называются элементарными исходами или элементарными событиями.

Например, при бросании монеты возможны два элементарных исхода: выпадение “герба” или выпадение “решки”. При бросании игровой кости элементарными исходами будут: выпадение единицы, выпадение двойки, выпадение тройки, выпадение четверки, выпадение пятерки и выпадение шестерки.

Изобразим результаты опыта схематически.

Опыт

Ei – элементарные исходы

(элементарные события)

Множество элементарных событий обозначим E . Помимо элементарных событий часто интересны события более сложной природы, которые образуются из элементарных. События будем обозначать большими

3

латинскими буквами A, B,C и т.д. Например, 2 раза бросают монету. Элементарные исходы: E1 − OP, E2 − PO, E3 − PP, E4 − OO . Событие A – “один раз выпадает “решка” сложное, так как включает 2 элементарных исхода – {E1 , E2 } . Событие B – “хотя бы один раз выпадает “решка” также

сложное, включает 3 элементарных исхода – {E1 , E2 , E3 } . Образование

сложных событий происходит с помощью операций сложения, умножения и дополнения. Рассмотрим основные понятия и операции из алгебры событий, то есть те правила, с помощью которых из простых событий образуются сложные.

Алгебра событий

В рассмотренном выше примере для опыта с бросанием монеты 2 раза события A –“один раз выпадает решка” и B – “хотя бы один раз выпадает решка” происходят тогда и только тогда, когда происходит один из элементарных исходов множества E , из которых они состоят. То есть естественно каждое реальное событие (например A ) рассматривать как некоторое подмножество множества E , включая в A те элементарные исходы, при которых это событие происходит.

Определение: Случайным событием A или просто событием A

называется любое подмножество из множества элементарных исходов E ( A E ). Например, при бросании монеты 2 раза, событие A = {E1 , E2 } ,

событие B = {E1 , E2 , E3 }

Определение: Событие A и B называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. Элементарные события по определению несовместны. Совместными могут быть только сложные события.

Определение: События A и B называются независимыми, если появление одного события не зависит от появления другого. Например, событие A – первый стрелок попал в цель и событие B – второй стрелок попал в цель являются независимыми.

1. Суммой двух событий A и B называется событие C = A+ B (или C = AU B ), состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Например, если событие A – “продолжительность жизни лежит между 0 и t1 ”, событие B –“продолжительность жизни лежит между t1 и t2 ”, то событие C = A + B есть событие “продолжительность жизни лежит между 0 и t2 ”

( t2 > t1 ).

4

каждом опыте всегда происходит одно из элементарных событий, то E назовем достоверным событием, то есть таким, которое всегда происходит в данном опыте. Пустое множество не содержит элементарных событий, следовательно, никогда не происходит. Такое событие будем называть

невозможным событием.

Для того, чтобы построить теорию вероятностей, необходимо каждому событию A поставить в соответствие некоторую количественную оценку возможности его осуществления. Такой оценкой служит его вероятность

P (A ) .

Если опыт такой, что его результатами являются конечное число элементарных исходов, которые к тому же равновозможны, то говорят, что речь идет о классическом случае. Теорию вероятностей для этого случая разрабатывал еще Лаплас. На вопрос, какие исходы можно считать равновозможными, математика не дает строгого определения. Как правило, о равновозможных случаях говорят тогда, когда имеет место симметрия условий проведения опыта, из которой следует симметрия исходов. При бросании игральной кости выпадение любой из шести граней представляется нам одинаково правдоподобным, если кость изготовлена из однородного материла и имеет достаточно правильную кубическую форму. Выпадение “герба” и “решки” при бросании монеты тоже считается равновозможным и базируется на предположении об идеальной симметрии монеты. При игре в рулетку предполагается что равновозможность исходов обеспечивается симметричностью колеса и установкой его строго горизонтально. Нарушение симметрии приводит к нарушению равновозможности исходов.

Введем определение вероятности для этого случая.

Классическое определение вероятности.

Определение: Пусть при проведении опыта равновозможны n различных элементарных исходов. Тогда вероятностью событию A называется отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события A к общему числу всех равновозможных исходов.

P(A) = mn , m - число исходов, благоприятствующих A , n - общее

число равновозможных элементарных исходов.

6

Например: 2 раза бросают монету. Количество возможных исходов

PP ü

OOï

POïýn = 4 . Нас интересует событие A – орёл выпадет один раз.

ï

OP ïþ

Благоприятные события: РО, ОР, m =2, вероятность равна P(A) = mn = 24 = 12

В более общем случае нет возможности ввести такое простое определение, поэтому в современной теории вероятности это понятие считают основным понятием, которое удовлетворяет определенным аксиомам.Формулировка аксиом была дана русским математиком А. Н. Колмогоровым (1903-1987) в 1933 году. Рассмотрим эти аксиомы.

Аксиомы теории вероятностей

1.Каждому случайному событию A поставлено в соответствие

число P (A ) , 0 £ P( A ) £ 1, которое называется вероятностью события A .

2.P (A) = 1 , если A – достоверное событие.

3.Если события A и B – несовместны, то P (A + B) = P (A) + P(B) (аксиома аддитивности).

Вероятностью называют числовую функцию P (A ) на множестве всех

событий, определяемых данным экспериментом, которая удовлетворяет выше перечисленным аксиомам.

Относительная частота события

Статистический подход к численному определению вероятности часто применяется в тех случаях, когда из теоретических соображений, например, соображений симметрии, значение вероятности установить нельзя.

Пусть опыт повторяется n1 раз и при этом подсчитывается, как часто происходит интересующее нас событие. Допустим, что оно произошло m1

раз.

Определение: Относительной частотой события A называется отношение числа опытов m1 , в которых событие A появилось, к общему числу

опытов n1

7

Wn ( A) = m1

1 n1

Понятно, что относительная частота колеблется в пределах 0 ≤ Wn1 (A) ≤ 1. Практика показывает, что при увеличении n1 относительная

частота стремится к некоторому постоянному значению, которое можно принять за вероятность, если ее нельзя определить другим способом

(Wn1 (A) → P( A), n1 → ∞ ). В отличие от вероятности, которая определяется до опыта, относительную частоту события определяют после опыта.

8

Лекция 2

Полная группа событий. Геометрическая вероятность. Условная вероятность. Основные соотношения комбинаторики.

Полная группа событий

Определение: События A1 , A2 ,..., An образуют полную группу событий, если

при испытании обязательно произойдёт хотя бы одно из этих событий и не произойдут никакие другие. Вероятность полной группы событий равна единице.

P(A1 + A2 ... + An ) = 1 – так как появление одного из этих событий есть

событие достоверное. Если события попарно несовместны, то произойдёт только одно.

Например, если в группе 16 студентов, и рассматриваются возможные исходы, характеризующие количество студентов, присутствующих на занятии, то следующие события:

A1 – присутствует 0 человек

A2 – присутствует 1 человек

.

.

.

A17 – присутствует 16 человек

будут составлять полную группу событий.

Замечание: события A и A несовместны и образуют полную группу событий.

Если P(A) = p, P(A) = q , то p + q =1

Геометрическая вероятность.

Классическое определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом “равновероятных” исходов. К описанию такой ситуации подходят с помощью геометрического определение вероятности. Каждому событию A ставится в соответствие точка на прямой, на плоскости или в пространстве. Вероятность данного события определяется как вероятность попадания точки в некоторую конечную область (отрезок, часть плоскости или часть объёма).

1) Пусть L – длина отрезка. На отрезке L взят произвольный отрезок длинны l (рис.1). Предположим, что вероятность попадания точки на

9