Лекции _ Вышка

P5000 (3) ≈ 3!1 e−1 ≈ 61e ≈ 0,06 .

Найвероятнейшее число появлений события в n независимых

испытаниях

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p или не появиться с

вероятностью q . Вероятность Pn (k ) того, что в n испытаниях событие

появиться ровно k раз определяется по формуле Бернули. Если проанализовать эту вероятность, то оказывается, что вначале с ростом k эта вероятность растет, а потом падает. То есть существует такое число k0 , при котором эта вероятность будет наибольшей.

Определение: Число k0 наступления события A в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим , если вероятность того, что событие A наступит ровно k0 раз больше вероятности остальных исходов.

Можно доказать, что наивероятнейшее число k0 может быть определено из неравенства

np − q ≤ k0 < np + p

Причем:

а) если число np − q – дробное, то существует одно найвероятнейшее число

k0

б) если np − q – целое, то существует два найвероятнейших числа, а именно

k0 и k0 +1 ,

с) если np – целое, то найвероятнейшим числом будет k0 = np .

Пример 1: Отдел технического контроля проверяет партию из 10 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,75 . Найти

найвероятнейшее число деталей, которые будут признаны стандартными.

Решение:

По условию задачи n = 10, p = 0,75, q = 1− p = 0,25 . Найдем найвероятнейшее число из двойного неравенства

np − q ≤ k0 < np + p .

28

Подставляя данные задачи, получим

10×0,75 - 0,25 £ k0 <10×0,75 + 0,75

или

7,25 £ k0 < 8,25

Так как k0 – целое число и поскольку между числами 7,25 и8,25 заключено одно целое число, а именно 8 , то k0 = 8 .

Пример 2: Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признана годным к продаже, равна 0,6 . Найти

найвероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.

Решение:

По условию задачи n = 24; p = 0,6; q = 0, 4 . Найдем найвероятнейшее число годных к продаже образцов из двойного неравенства

np - q £ k0 < np + p

Подставляя данные задачи, получим

24×0,6 - 0,4 £ k0 < 24×0,6 + 0,6

или

14 £ k0 <15

Так как np − q – целое число, то найвероятнейших чисел будет два: k0 = 14 и k0 +1 =15

Пример 3:

Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании 0,4 , чтобы найвероятнейшее число появлений

события в этих испытаниях было равно 25 .

Решение:

По условию k0 = 25; p = 0,4; q = 0,6 .

Воспользуемся двойным неравенством

np - q £ k0 < np + p

Подставляя данные задачи, получим систему неравенств для определения неизвестного числа n

0,4n − 0,6 ≤ 25 , 0,4n + 0,4 > 25

Из первого неравенства системы найдем n £ 25,60,4 = 64

29

Из второго неравенства имеем n > 24,60,4 = 61,5

Таким образом, искомое число испытаний должно удовлетворять двойному неравенству 62 ≤ n ≤ 64 . Это числа 62, 63, 64 .

30

Лекция 6

Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Математическое ожидание.

Случайные величины.

Многие случайные события состоят в появлении того или иного числа. Например, при бросании игровой кости могут появляться числа: 1,2,3,4,5,6. Если обозначить X – число выпавших очков, то X будет случайной величиной, а её возможные значения: 1,2,3,4,5,6.

Определение: Cлучайной величиной X называется числовая функция, определенная на множестве исходов.

В результате испытания случайная величина может принимать только одно из возможных значений. Случайные величины будем обозначать прописными латинскими буквами X ,Y, Z,K , а возможные значения, например, слу-

чайной величины X : x1 , x2 ,..., xn .

Определение: Случайная величина X называется дискретной, если она может принимать только отдельные дискретные значения с определёнными вероятностями. Например, при бросании игральной кости случайная величина X – число выпавших очков принимает 6 возможных дискретных значе-

ний: 1,2,3,4,5,6.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть как конечным так и бесконечным. Например, если стрелок стреляет до тех пор, пока не промахнется и X – число выстрелов, произведенных стрелком, то теоретически X может принимать бесконечное число возможных значе-

ний X :1,2,3,...

Определение: Случайная величина X называется непрерывной, если она может принимать все значения из некоторого интервала (конечного или бесконечного).

Например, если поезд приходит в 1700 с возможным опозданием на полчаса и X - время прихода поезда, то X принимает все возможные значения из интервала (17,17.5)

Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

30

Закон распределения дискретной случайной величины.

Для задания закона распределения дискретной случайной величины необходимо задать все возможные значения, которые принимает дискретная величина и их вероятности.

Так как события X = x1 ; X = x2 ; ...; X = xn составляют полную группу событий, то p1 + p2 +...+ pn = 1. Если число возможных значений бесконеч-

∞

но, то ряд p1 + p2 +...+ pn +... должен сходится å pi = 1 .

i =1

2. Аналитически: Например: xk = k; k = 1,2,3,... .

1

Биномиальное распределение.

Пусть произведено n независимых испытаний. Вероятность появления события A в каждом испытании p . Тогда X – число появлений собы-

тия A будет случайной величиной. X принимает возможные значения X : 0; 1; 2; 3; ...; n . Вероятность появления каждого возможного значения опре-

31

деляется по формуле Бернулли:

P(X = 0) = Cn0 p0 qn = qn

P(X = 1) = Cn1 pqn−1

M

P(X = n) = Cnn pn q0 = pn

Определение: Биномиальным распределением называется распределение случайной величины X – числа появления события A в n независимых испытаниях, принимающей возможные значения 0; 1; 2; ...; n , вероятность ко-

Определение: Распределением Пуассона называется распределение случайной величины X – числа появления события A в n независимых испы-

32

Пример: Учебник издан тиражем 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Составить закон распределения случайной величины X – числа учебников, сброшюрованных неправильно

Решение:

Возможные значения X : 0;1;2,...100000. Найдем вероятности, с которыми случайная величина X принимает эти возможные значения по формуле Пу-

ассона: n = 100000, p = 0.001,λ = np = 10

P10000 (0) = 100 e−10 = e−10

0!

P10000 (1) = 101 e−10 = 10e−10

1!

M

10100000 e−10

P10000 (100000) = 100000!

Составим закон распределения

Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и поэтому ограничиваются меньшими сведениями, которые описывают случайную величину суммарно. Среди таких характеристик особую роль играют математическое ожидание, дисперсия среднеквадратическое отклонение. Они определяются однозначно по распределению случайной величины.

Рассмотрим следующий схематический пример. Предположим, что некоторая школа решила организовать автобусную прогулку для учащихся. Заранее неизвестно, сколько учащихся согласится поехать на эту прогулку, и поэтому неизвестно, сколько автобусов следует заказать. Из некоторых об-

33

p1 + p2 +K+ pn = 1. Если, например, таких школ много, то часто необходимо

определить, сколько в среднем автобусов пришлось бы на одну школу. Будем рассуждать так. Если таких школ много, то относительное число случаев, когда понадобится один автобус равно приближенно p1 . Точно так же два

автобуса потребуется в относительном числе случаев, которое равно p2 и т. д. Таким образом, в среднем для прогулки потребуется

1× p1 + 2× p2 +K+ n × pn автобусов.

Величиной, которая характеризует среднее значение случайной величины (с учетом вероятностей ее возможных значений) является математическое ожидание.

Например, если математическое ожидание числа выбиваемых очков 1- го стрелка больше чем второго, то 1-ый стрелок стреляет лучше второго. Для многих практических случаев этого достаточно. Введем строгое определение математического ожидания.

Определение: Математическим ожиданием дискретной случайной вели-

чины X называется сумма произведений её возможных значений на их вероятности.

M (X ) = x1 p1 + x2 p2 +...+ xn pn

∞

Если число значений бесконечно, то M (X ) = åxi pi , причём математическое

есть, в этом случае математическое ожидание равно среднему арифметическому всех возможных значений.

Пример: Найти математическое ожидание M (X ) случайной величины X , заданной законом распределения.

Решение:

M (X ) = 1×0,2 + 2×0,3+ 4×0,5 = 0,2 + 0,6 + 2 = 2,8

34

35

Лекция 7

Вероятностный смысл математического ожидания. Свойства математического ожидания дискретной случайной величины

Вероятностный смысл математического ожидания.

Пусть произведено n независимых испытаний. Пусть в этих испытаниях случайная величина X приняла значения x1 – m1 раз, значение

Таким образом, X » M (X ) . Это равенство выполняется тем точнее, чем

больше число испытаний.

Вероятностный смысл полученного результата такой:

Математическое ожидание случайной величины приближённо равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания дискретной случайной величины

Определение: Постоянной случайной величиной называется дискретная случайная величина X , принимающая одно возможное значение X = C с вероятностью p = 1.

Свойство 1 Математическое ожидание постоянной случайной величины равно возможному значению этой случайной величины.

M (C) = C .

Доказательство: Найдем математическое ожидание постоянной величины

M (C) = C ×1 = C

35