Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции _ Вышка

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
905.57 Кб
Скачать

Определение:

Если X

– случайная величина, принимающая значения

x1 , x2 ,..., xn

с

вероятностями

p1 , p2 ,..., pn , то

произведением случайной

величины

X на число

C

называется

случайная величина CX ,

принимающая значения Cx1 ,Cx2 ,...,Cxn с вероятностями p1 , p2 ,..., pn .

Свойство 2

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

M (CX ) = CM (X ) .

Доказательство: Пусть X имеет распределение

 

X

 

x1

 

x2

K

xn

 

 

P

 

p1

 

p2

K

pn

 

Тогда CX будет иметь распределение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CX

 

Cx1

 

Cx2

 

K

 

Cxn

 

 

P

 

p1

 

p2

 

K

 

pn

 

Тогда

M (CX ) = Cx1 p1 + Cx2 p2 +...+ Cxn pn = C(x1 p1 + x2 p2 +...+ xn pn ) = CM (X )

Определение: Две случайные величины X и Y называют независимыми случайными величинами, если закон распределения одной случайной величины не зависит от закона распределения другой случайной величины.

Определение: Произведением двух случайных величин X и Y называется случайная величина XY , принимающая возможные значения, состоящие из всех возможных произведений значений X и Y . Вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей

Например, если закон распределения X имеет вид

X

x1

x2

P

p1

p2

И закон распределения Y имеет вид

36

Y

 

y1

y2

 

 

 

P

 

p1

p2

 

будет иметь вид

 

то закон распределения XY

 

 

 

 

 

 

XY

 

x1 y1

x1 y2

 

x2 y1

x2 y2

P

 

p1 p1

p1 p2

 

p2 p1

p2 p2

Свойство 3

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

M (XY ) = M (X )M (Y )

Доказательство:

M (XY) = x1 y1 p1 p1¢ + x1 y2 p1 p2¢ + x2 y1 p2 p1¢ + x2 y2 p2 p2¢ =

= y1 p1¢(x1 p1 + x2 p2 ) + y2 p2¢ (x1 p1 + x2 p2 ) = (x1 p1 + x2 p2 )(y1 p1¢ + y2 p2¢ ) = M (X )M (Y )

Следствие: Математическое ожидание произведения n взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей.

M (X1 × X2 ×...× Xn ) = M (X1 )× M (X2 )×...×M (Xn ) .

Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от закона распределения остальных величин. В противном случае величины называются зависимыми.

Определение: Суммой двух случайных величин

X

и

Y

называется

случайная величина

X + Y ,

принимающая все

возможные

значения,

состоящие из всех сумм xi + yj

возможных значений случайных величин X

и Y . Вероятности pij

возможных значений

X + Y

выражают вероятность

того, что случайная величина

X примет значение xi ,

а случайная величина

Y – значение

yj .

Для независимых величин

 

X

и Y

pij равны

произведениям

вероятностей

слагаемых,

для

зависимых

величин –

произведениям вероятности одного из слагаемых на условную вероятность другого.

37

Заметим, что некоторые суммы x + y могут быть равны между собой. В этом

случае вероятность возможного значения суммы равна сумме соответствующих вероятностей.

Свойство 4

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

M (X +Y ) = M (X ) + M (Y ) .

Доказательство:

Обозначим вероятности возможных значений суммы p11 , p12 , p21 , p22 . Пусть случайная величина X имеет распределение

X

x1

x2

P

p1

p2

а случайная величина Y распределение

Y

y1

y2

P

p1

p2

Обозначим вероятности возможных значений суммы p11 , p12 , p21 , p22 . Сумма X + Y будет иметь распределение.

 

X + Y

 

x1 + y1

 

x1 + y2

 

x2 + y1

 

x2 + y2

 

 

 

P

 

p11

 

p12

 

 

p21

 

p22

 

 

 

 

M (X +Y) = (x1 + y1 ) p11 + (x1 + y2 ) p12 + (x2 + y1 ) p21 + (x2 + y2 ) p22 =

 

x1 ( p11 + p12 ) + x2 ( p21 + p22 ) + y1 ( p11 + p21 ) + y2 ( p12 + p22 )

 

 

Докажем,

что

p11 + p12

= p1 .

Событие, состоящее в

том

что X = x1 ,

происходящее с вероятностью

p1

влечёт за собой события, что происходят

события

X + Y = x1 + y1

 

или

X + Y = x1 + y2

 

с

соответствующими

вероятностями

p11 и

 

p12 .

По теореме о

 

сложении

вероятностей

p11 + p12 = p1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p21 + p22 = p2 ,

 

Аналогично

 

доказывается,

что

 

p11 + p21 = p1′,

p12 + p22 = p2′ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

 

 

 

 

 

Следовательно M (X +Y) = x1 p1 + x2 p2 + y1 p1+ y2 p2= M (X ) + M (Y)

Следствие: Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

M (X1 + X2 + ...+ Xn ) = M (X1 ) + M (X 2 ) +...+ M (Xn ) .

Данное утверждение можно доказать методом математической индукции.

Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях.

Пусть производится n независимых испытаний. В каждом испытании вероятность появления события A постоянна и равна p . Пусть случайная

величина X – число появлений события A в n независимых испытаниях. Требуется найти математическое ожидание этой случайной величины.

 

Представим случайную величину X в виде X = X1 + X2 +...+ X n , где

Xi

– число появлений события A в одном испытании. Закон распределения

Xi

имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xi

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

1− p

 

 

 

p

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

M (Xi ) = 0×(1- p) +1× p = p;

i =1,2,...,n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (X ) = M (X

1

+ X

2

+...+ X

n

) = M (X

) + M (X

2

) +...+ M (X

n

) = p + p +...+ p = np

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1442443

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n раз

Таким образом,

 

 

– математическое ожидание числа появления

M (x) = np

 

события в n независимых испытаниях, или математическое ожидание

биномиального распределения.

Пример: Найти математическое ожидание случайной величины X – числа появления герба при 40 бросаниях монеты.

Решение: Так как X имеет биномиальное распределение, то согласно выше доказанному

M (X ) = np = 40× 12 = 20

39

40

Лекция 8

Дисперсия дискретной случайной величины. Свойства дисперсии. Дисперсия биномиального распределения.

Среднееквадратическое отклонение.

Легко указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные законы распределения. Например

X

0,1

-0,1

P

0,5

0,5

 

 

 

Y

100

-100

P

0,5

0,5

Математические ожидания обеих случайных величин равны между

собой

M (X ) = M (Y ) = 0

То есть, математическое ожидание очень неполно характеризует случайную величину. Чтобы охарактеризовать рассеяние случайной величины вокруг своего математического ожидания, вводят понятие дисперсии. Рассмотрим вначале отклонение случайной величины.

Отклонение случайной величины от её математического ожидания.

Пусть X - случайная величина, M (X ) - её математическое ожидание.

Определение: Отклонением случайной величины от ее математического ожидание называется разность X M (X ) . Отклонение является случайной величиной имеющей распределение

X M (X )

x1 M (X )

x2 M (X )

K

xn M (X )

P

p1

p2

K

pn

Докажем следующую теорему.

Т. Математическое ожидание отклонения случайной величины равно нулю.

Доказательство:

40

M (X - M (X )) = M (X ) - M (M (X )) = M (X ) - M (X ) = 0

Замечание: Наряду с термином отклонения используется термин центрированная случайная величина.

Определение: Центрированной случайной величиной называется случайная величина X - M (X ) , равная разности между случайной

величиной X и её математическим ожиданием M (X ) .

Дисперсия дискретной случайной величины.

На практике очень часто важно знать рассеяние случайных величин вокруг своего математического ожидания. Например, в артиллерии важно оценить, насколько кучно лягут снаряды вокруг цели. На первый взгляд может показаться, что надо взять все возможные отклонения и найти их среднее значение. Но математическое ожидание отклонения, как было показано выше, равно нулю. Поэтому надо взять либо модуль этой величины, либо ее квадрат. Поскольку с модулем не очень удобно работать, берут квадрат отклонения и находят его математическое ожидание (приближенное среднее значение).

Определение: Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения

D(X ) = M (X - M (X ))2 .

Формула для вычисления дисперсии.

D(X ) = M (X - M (X ))2 = M (X 2 - 2× X ×M (X ) + (M (X ))2 ) =

=M (X 2 ) - 2×M (X )(M (X ) + M (M (X ))2 =

=M (X 2 ) - 2×M (X )M (X ) + (M (X ))2 = M (X 2 ) - (M (X ))2

Таким образом, имеем формулу, которая часто используется для расчета дисперсии

D(X ) = M (X 2 ) - (M (X ))2

Пример: Найти дисперсию случайной величины X , заданной законом распределения.

X

2

3

5

41

 

P

0,1

0,6

 

0,3

Решение:

 

 

 

 

Составим закон распределения X 2 . Он будет иметь вид

 

 

 

 

 

 

 

 

X 2

4

9

 

25

 

P

0,1

0,6

 

0,3

Найдем математическое ожидание X и X 2

M (X ) = 2×0,1+ 3×0,6 + 5×0,3 = 0,2 +1,8 +1,5 = 3,5

M (X 2 ) = 4×0,1+ 9×0,6 + 25×0,3 = 0,4 + 5,4 + 7,5 = 13,3

Вычислим дисперсию D(X ) = 13,3- (3,5)2 =1,05

Свойства дисперсии.

1.Дисперсия постоянной величины равна нулю

D(C) = 0

Доказательство: D(X ) = M (X - M (X ))2 по определению.

D(C) = M (C - M (C))2 = M (C - C)2 = M (02 ) = M (0) = 0 (постоянная величина рассеяния не имеет).

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

D(CX ) = C2 D(X )

Доказательство:

D(CX ) = M (CX - M (CX ))2 =

=M (CX - CM (X ))2 = M (C2 (X - M (X ))2 ) = C2 M (X - M (X ))2 = C2 D(X )

3.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

D(X +Y ) = D(X ) + D(Y) .

42

Доказательство:

D(X +Y ) = M (( X +Y )2 )M 2 ( X +Y ) = M (X 2 + 2XY +Y 2 ) (M (X ) + M (Y))2 =

=M (X 2 )+ 2M (XY )+ M (Y 2 )M 2 (X )− 2M ( X )M (Y )M 2 (Y ) =

=M (X 2 )+ 2M (X )M (Y )+ M (Y 2 )M 2 (X )M 2 (Y )− 2M ( X )M (Y ) =

=M (X 2 )M 2 ( X )+ M (Y )2 M 2 (Y ) = D( X ) + D(Y )

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

D( X1 + X2 +...+ Xn ) = D(X1 ) + D( X2 ) +...+ D(Xn )

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины

D(C + X ) = D (C) + D( X ) = 0 + D( X ) = D(X )

Дисперсия биномиального распределения

Пусть произведено n независимых испытаний и в каждом испытании событие A может появиться с вероятностью p или не появиться с

вероятность q . Пусть X – число появлений события A в n независимых испытаниях. Возможные значения X : 0;1;2;3;...;n . Случайная величина X имеет биномиальное распределение.

Т. Дисперсия числа появления события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна, равна произведению числа испытаний n на вероятности появления и не появления события A в одном испытании

 

 

 

 

 

D(X ) = npq

 

 

 

 

 

Доказательство: Пусть X

- число появления события A в

n

независимых

испытаниях Представим

X в виде

X = X1 + X2 +...+ X n ,

где

Xi

- число

появления в i -ом

 

испытании.

Случайная величина

Xi

имеет

распределение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xi

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

43

 

 

 

 

 

P

 

1− p

p

 

 

 

 

Xi

2

0

1

P

 

1− p

p

D( Xi ) = M (Xi 2 )- M 2 (Xi )

M (Xi2 ) = p; M 2 (Xi ) = p2

D( Xi ) = p - p2 = p(1- p) = pq

Найдем дисперсию случайной величины X . Исходя из свойств дисперсии

D( X ) = D(X )1 + D(X2 ) + ... + D(X n ) = npq

Пример: Произведено 10 выстрелов, вероятность попадания p = 0,8 . Найти дисперсию числа попадания

Пусть число попаданий X – случайная величина, так как вероятность попадания в каждом испытании постоянна, испытания (выстрелы) считаем независимыми, то X имеет биномиальное распределение, тогда

D( X ) = npq = 10×0,8×0,2 = 1,6 .

Среднее квадратичное отклонение.

Определение: Средним квадратичным отклонением случайной величины называется квадратный корень из ее дисперсии

σ ( X ) = D( X )

Заметим, что среднее квадратичное отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина X .

Например: Если размерность X в метрах, то размерность

éD (X )ù = м2

;

éσ ( X )ù = м .

ë

û

 

ë

û

44

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.