Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции _ Вышка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

905.57 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Т. Функция распределения непрерывной случайной величины является несобственным интегралом от плотности распределения

F(x) = ò f (x)dx

−∞

Доказательство: F(x) = P(X < x) = P(-¥ < X < x) = ò f (x)dx

−∞

Свойства плотности распределения

1) f (x) - неотрицательная функция f (x) ³ 0 .

							¢
Доказательство: Так как F(x) - неубывающая функция, то F (x) = f (x) ³ 0 .
∞
2) ò	f (x)dx = 1.
−∞		∞
		∞
Доказательство:		ò f (x)dx = P(-¥ < X < +¥) = 1.
		−∞
	Вероятностный смысл плотности распределения
	Пусть F(x) - функция			распределения непрерывной				случайной
величины X .					F(x + Dx) - F(x)
			¢		F(x + Dx) - F(x)
			f (x) = F (x)	= lim			.
			f (x) = F (x)	= lim		Dx	.
				x→0		Dx
	Разность	F(x + Dx) - F(x)		определяет вероятность того, что X
примет значение, заключённое в интервале (x, x + Dx) .
	По аналогии		с определением			плотности массы,		отношение
lim	F(x + Dx) - F(x)		определяет плотность распределения вероятности.
lim	Dx		определяет плотность распределения вероятности.
x→0	Dx

F(x + Dx) - F(x) » f (x)×Dx

y			Вероятность	того, что	X	принимает
f (x)

			значения, заключённые		в	интервале
			значения, заключённые		в	интервале
			(x, x + x)	приближённо			равна
			(x, x + x)	приближённо			равна
			площади	заштрихованного
			прямоугольника:
			f (x) ≈	P(x < X < x + x)
			f (x) ≈	x
				x

	x	x + x

Рис 3

Лекция 11

Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Нормальное распределение. Нормальная кривая.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Пусть непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f (x) . Допустим, что все возможные значения X

принадлежат отрезку [a,b] . Разобьём отрезок [a,b] на n частичных отрезков x1 , x2 ,..., xn .

Вероятность того, что X попадает в частичный отрезок:

Pi = f (xi ) xi

По аналогии с дискретной случайной величиной:

n	n
M (X ) ≈ åxi pi = åxi f (xi ) xi
i=1	i=1

Перейдём к пределу при max xi → 0 , получим: M (X ) = ò xf (x)dx

Предположим, что интеграл сходится абсолютно. Если значение X принадлежит всей числовой оси, то

	∞
	M (X ) = ò xf (x)dx	–	математическое	ожидание
	−∞
непрерывной случайной величин

Аналогично определяется дисперсия непрерывной случайной величин

+∞

D(X ) = M (X − M (X ))2 = ò (x − M (X ))2 f (x)dx

−∞

+∞

D(X ) = ò (x − M (X ))2 f (x)dx

−∞

Если возможные значения находятся на интервале (a,b) , то числовые характеристики определяются по формуле

M (X ) = òb	xf (x)dx	–	математическое	ожидание
a

D(X ) = òb (x − M (X ))2 f (x)dx – дисперсия

Формула для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины

Можна показать, что дисперсия может быть вычислена по формуле

+∞

D(X ) = ò x2 f (x)dx − (M (X ))2 , если возможные значения попадают

−∞

на всю числовую ось, и по формуле

D(X ) = òb x2 f (x)dx − (M (X ))2 – если возможные значения попадают

в интервал (a,b) .

Нормальное распределение

Определение: Нормальным распределением (распределением Гаусса)

называется распределение непрерывной случайной величины X , которое описывается плотностью распределения:

f (x) =		1		e−	( x−a )2
					2σ 2

	σ		2π

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: a и σ > 0 .

Нормальное распределение встречается в большом числе приложений: теории случайных процессов, в моделях броуновского движения, нормальный вид имеет, например, закон распределения ошибок наблюдений, закон распределения скоростей молекул и многие другие.

Значение параметров нормального распределения

Покажем, что параметры нормального распределения имеют следующий смысл: a – это математическое ожидание, а σ – среднее квадратичное отклонение. Найдем числовые характеристики случайной величины X :

Найдем математическое ожидание

t =

x - a

∞

( x−a)2

∞

( x−a )2

M (X ) = ò

xϕ(x)dx = ò x ×

e−

2σ 2 dx =

ò x ×e−

2σ 2

dx =

x = σt + a

2π

−∞

dx = σ dt

∞

−t2

∞

−t2

∞

− t2

ò (σt + a)e

2 dt =

σte

2 dt +

2 dt = 0 +

2π

−∞

∞

−

ò e

= 2π

ò e

= a

−∞

2π

−∞

интеграл Пуассона

Дисперсия

∞

−

( x−a)2

∞

−

( x−a )2

= ò (x - a)

2σ

ò (x - a)

2σ

D(X ) = M (X - a)

2π

−∞

x - a

= t

={Сделаем замену переменных

x = σt + a

dx = σ dt

u = t

dυ = te− 2 dt

du = dt

∞

+∞

−

ò σ

2t2e

2 dt

ò t2e

dt =

υ = òte− 2 dt =

í-te

2π

−∞

t2 ö

îï

−∞

= -òe

−

2 d ç

= -e− 2

σ 2

{I1 - I2 +

}= σ 2

2π

∞		t2 ü
ò e	−		ï

		2 dtý
−∞			þï

-1

-t

= lim

= 0; I

= lim

= 0

t →∞

t→∞

2t ö

t→∞

−

2 ×ç

σ = D(x) Þ σ - среднее квадратичное отклонение.

Определение: Случайна величина X называется нормальной если она имеет нормальное распределение.

Определение: Нормированным (стандартным) нормальным распределением называется нормальное распределение с параметрами

a = 0, σ = 1 .

Например, если случайная величина

X имеет нормальное распределение с

параметрами a и σ , то случайная

величина U =

X - a

–

стандартная

случайная величина. Покажем это, найдя числовые характеристики.

æ X - a) ö

M (U ) = M ç

(M (X ) - M (a)) =

(a - a) = 0

æ X - a) ö2

×σ

D(U ) = M (U - 0)

M (U

) = M ç

M (X - a)

D(X ) =

Плотность распределения стандартного нормального распределения имеет

вид:

ϕ(x) =

e−

2π

Для функции ϕ (x) составлены таблицы, при этом ϕ (-x) = ϕ (x) .

Нормальная кривая.

Определение: График плотности нормального распределения называется

нормальной кривой (кривой Гаусса).

Для построения нормальной кривой исследуем функцию

		y =	1	e−	( x−a )2
			1		2σ 2

			2πσ
1.	D(y) :	x Î R.	2πσ
1.	D(y) :	x Î R.
2.	E(y)	y > 0 .
3.	lim y = 0 Þ y = 0 – горизонтальная асимптота.

x→±∞

4. Исследуем на экстремум

− ( x−a)2

при x = a .

2σ 2

2πσ e

×(-2(x - a))

= 0,

y(a) = σ 2π

> 0 при x < a,

< 0 , при x > a

x (-¥;a)

(a;+¥)

y¢

max

5. График функции симметричен относительно прямой x = a

6. С помощью второй производной можно найти, что x = a − δ ; x = a + δ -

точки перегиба Таким образом, нормальная кривая имеет вид (рис.1)

f (x)

a −σ

a +σ

Рис. 1

Влияние параметров a и σ на форму кривой.

При изменении

кривая сдвигается вправо или влево,

а форма ее не

изменяется.

ymax =

следовательно,

при увеличении

σ максимум

2π

σ = 1

σ = 3

Рис. 2

уменьшается, а точки перегиба a −σ; a +σ , отступают от a на большее

расстояние, то есть кривая “расплывается” (рис.2). При любых значениях a и σ :

∞

S = ò f (x)dx =1 .

−∞

Лекция 12

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Вероятность заданного отклонения. Правило трёх сигм. Равномерное распределение. Показа-

тельное распределение.

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

Вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале (α, β ) определяется по формуле:

P(α < X < β) = ò f (x)dx . Если X имеет нормальное распределение, то:

β −a

( x−a)2

P(α < X < β) = òβ

e−

2σ 2 dx =

2 dt =

2π

α −a

β −a

α −a

σò e−

σò

ò e−

2 dt +

dt =

2 dt -

e−

dt =

2π

α −a

2π 0

= F æ β - a ç σ

ö - Fæα - a ö ÷ ç σ ÷ ø è ø

Таким образом, вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал определяется по формуле

æ	β - a ö		æ	α - a ö
P(α < X < β) = Fç		÷	- Fç		÷
	σ			σ
è		ø	è		ø

Пример: Случайная величина X имеет нормальное распределение M (X ) = 30; σ (X ) =10 . Найти вероятность того, что X примет значение,

заключённое в интервале (10;50) .

Решение: По условию задачи

a = 30,σ = 10,α = 10, β = 50

æ	50 - 30 ö		æ10 - 30		ö
P(10 < X < 50) = Fç		÷	- Fç		÷	=
	10			10
è		ø	è		ø
F(2) - F(-2) = F(2)	+ F(2) = 2F(2) = 2×0,4772 = 0,9544

Вероятность заданного отклонения.

Часто требуется найти вероятность того, что отклонение случайной величины X от математического ожидания будет меньше некоторого δ > 0 .

P ( X - a < δ ) = P(-δ < X - a < δ ) = P(a -δ < X < δ + a)

β - a ö

α - a ö

æ a +δ - a ö

α -δ - a ö

= Fç

- Fç

= Fç

- Fç

Таким образом, получаем формулу

	P (		X - a				æ	δ	ö
	P (		X - a			< δ ) = 2Fç ÷
							è	σ	ø
При a = 0;

		P (		X	æ		δ	ö
		P (		X	< δ ) = 2Fç ÷
					è		σ ø

=a -δ = α = a +δ = β

æ	δ ö	æ	-δ ö		=
Fç	÷	- Fç	σ	÷	=
è	σ ø	è	σ	ø

2Fæ δ ö çèσ ÷ø

Правило трёх сигм

Преобразуем формулу P (

X - a

δ ö

< δ ) = 2Fç

÷ .

σ ø

Положим δ = σt Þ P (

X - a

< δ t) = 2F(t) .

Если

t = 3;

σ t = 3σ ,Þ δ = σ t Þ P (

X - a

< 3σ ) = 2F(3) = 2×0,4986 = 0,9973 .

Тогда

P (

X - a

> 3σ ) = 0,0027 . Таким образом, вероятность того, что слу-

чайная величина X отклонится от a больше чем на 3σ очень мала, только в 0,27% случае это может произойти. Такое событие можно считать практически невозможным.

Правило трех сигм формулируется следующим образом:

Если случайная величина X распределена нормально, то абсолютная вели- чина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроен- ного среднеквадратичного отклонения.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.08.201970.95 Кб6лекц2.docx
#
19.08.201962.7 Кб4лекц4.docx
#
19.08.201950.94 Кб1лекц8.docx
#
19.08.201944.9 Кб2лекц9.docx
#
05.03.2016417.28 Кб26Лекции (Теория технических систем).doc
#
05.03.2016905.57 Кб20Лекции _ Вышка.pdf
#
17.08.20192.78 Mб9Лекции Колосок Хотомлянский.doc
#
19.11.20191 Mб22ЛЕКЦИИ КОМПАС и АвтоКад.doc
#
05.03.201624.94 Mб150Лекции по ВСТИ.doc
#
05.03.2016766.98 Кб17Лекции по еврологистике (романенко).doc
#
08.11.2019934.47 Кб29Лекции по РСА.docx