Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции _ Вышка

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
905.57 Кб
Скачать

Лекция 9

Начальные и центральные теоретические моменты. Закон больших чисел . Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Функция распределения случайной величины. Плотность распределения

Начальные и центральные теоретические моменты

Рассмотрим дискретную

случайную

величину X , заданную законом

распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

1

2

5

100

 

 

P

0.6

0.2

0.19

0.01

 

Найдем математическое ожидание X :

M (X ) =1×0,6 + 2×0,2 + 5×0,19 +100×0,01 = 2,95

Напишем закон распределения X 2

X 2

1

4

25

10000

P

0.6

0.2

0.19

0.01

Найдем математическое ожидание X :

M (X 2 ) = 1×0,6 + 4×0,2 + 25×0,19 +10000×0,01 = 106,15

Видно, что M (X 2 ) значительно больше M (X ) . Переход от M (X ) к

M (X 2 ) позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того

возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Поэтому оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины.

Определение:

Начальным моментом порядка k случайной величины X

называется математическое ожидание величины X k

 

 

 

 

 

 

 

 

νk = M (X k )

В частности,

ν1 = M ( X )2

= M (X 2 ) .

 

Пользуясь этими моментами

формулу для

вычисления

дисперсии

D( X ) = M (X 2 ) - (M ( X ))2 можно

записать в виде

 

 

 

 

 

 

 

45

 

 

 

 

 

D( X ) =ν2 -ν12

 

 

Кроме моментов случайной величины

X рассматривают моменты

отклонения X - M (X ) .

 

 

 

 

 

 

 

Определение:

Центральным моментом порядка k

случайной величины

X называется математическое ожидание величины (X - M (X ))k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μk

= M é(X - M ( X ))k ù

 

 

 

 

 

ë

 

 

û

 

 

 

В частности μ1

= M éX - M (X )ù = 0 , μ

2

= M

é X - M ( X )

2 ù = D (X )

 

ë

 

û

 

ë(

 

)

û

Легко получаются соотношения, связывающие начальные и центральные моменты:

μ2 =ν2 -ν12 μ3 =ν3 - 2ν1 + 12

μ4 =ν4 - 3ν1 + 2ν12 - 14

Моменты более высоких порядков применяются редко.

Закон больших чисел

Нельзя заранее предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина. Но оказывается, что если число случайных величин достаточно большое, то их суммарное поведение почти утрачивает случайный характер, здесь необходимость прокладывает себе дорогу сквозь множество случайностей. Для практики важно знать условия, при которых совокупное действие очень многих причин приводит к результату, практически не зависящему от случая. Эти условия выражаются в теоремах, которые получили название закона больших чисел. Частный случай закона больших чисел в 1713 году рассмотрел Бернулли (закон больших чисел в форме Бернулли). Обобщение этого результата дал в 1867 году русский математик Чебышев Пафнутий Львович (1821-1894). В основе доказательства теоремы Чебышева лежит неравенство, обнаруженное Чебышевым и позднее нашедшее многочисленные применения как в теории вероятностей, так и в других математических дисциплинах.

Неравенство Чебышева

46

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от её математического ожидания по абсолютной величине меньше ε , не меньше

чем 1- D( X ) .

ε 2

P ( X - M ( X ) < ε ) ³1- D(X ) ε 2

Теорема Чебышева

Т. Если X1 , X2 ,..., Xn – попарно независимые случайные величины,

причём дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа C ) то, как бы мало не было ε , вероятность неравенства

 

 

 

 

 

 

 

X1 + X2 +...+ Xn

-

M (X1 ) + M (X2 ) +...+ M (Xn )

 

< ε будет стремиться

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к единице при n → ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

X

1

+ X

2

+ ... + X

n

 

 

 

M (X

) +...+ M (X

n

)

 

< ε

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim P ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1 + X2 +...+ Xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, так как

 

 

 

 

Рассмотрим случайную величину X

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1 , X2 ,..., Xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

попарно независимы, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ X

 

 

+ X

 

+...+ X

ö

 

M (X

) +...+ M (X

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (X ) =

 

M

1

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

÷ =

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя в неравенство Чебышева P (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< ε )³ 1-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(X

)

 

X - M (X )

 

(3)

 

ε

2

 

Подставим (2)

в (3)

M (X1 ) +...+ M (

Xn )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

X1 + X2 + ... + Xn

 

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< ε

 

 

 

 

 

 

D(X

 

 

 

 

 

 

P ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷ ³ 1-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ X

 

 

+ X

 

 

+ ... + X

 

ö

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(X ) =

 

1

2

 

 

(D(X1 ) + D(X2 ) +...+ D(Xn ))

 

 

 

 

 

Dç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

÷ =

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как D( X1 ) £ C,

 

 

D(X 2 ) £ C,..., D(Xn ) £ C , то

 

 

 

 

 

 

 

) £

C ×n

=

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

D(X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

47

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим C / n вместо

 

D(X

)

 

 

в (3), при этом неравенство только

усилится:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (

X1 )+ ...+ M (Xn )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

X1 + X

2 + ... + Xn

 

 

 

 

 

 

ö

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< ε ÷

³ 1-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

÷

 

 

nε

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

X

1

+ X

2

+... + X

n

 

 

M (X

) +...+ M (X

n

)

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim P

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< ε ÷

³ 1

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n→∞

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

Так как вероятность не может превышать единицу, то

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

X

1

+ X

2

+... + X

n

 

 

M (X

) +...+ M (X

n

)

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim P

ç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< ε ÷

= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n→∞

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

Замечание 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1 , X2 ,..., Xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если случайные величины

 

имеют одинаковые математические

ожидания M (Xi

) = a , тогда

 

 

M

( X1 )+ ... + M (Xn )

= a , и теорема Чебышева

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ

 

X

1

+ X

2

+... + X

 

 

 

ö

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

будет иметь вид lim Pç

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

- a

 

< ε ÷ = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

è

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 2 Сущность теоремы Чебышева состоит в том, что хотя отдельные случайные

величины могут иметь значительный разброс, их среднее арифметическое значение рассеяно мало и утрачивает характер случайной величины.

Следствие (закон больших чисел в форме Бернулли):

Если в последовательности независимых испытаний вероятность p

случайного события остается неизменной (случайные величины принимают только два значения 0 и 1 с вероятностями соответственно q = 1− p и

0 < p < 1 ), то

для любого ε > 0 вероятность того,

относительной

частоты от вероятности p не превысит

нулю при неограниченнном увеличении числа испытаний

 

æ

 

m

 

ö

 

 

 

 

 

lim Pç

 

 

n

- p

 

> ε ÷

= 0 ,

 

n→∞

è

 

 

n

 

ø

 

где mn – число появления события A в

n испытаниях,

mn

n

частота появления события A .

 

 

 

что отклонение

ε, стремиться к

относительная

Применение теоремы Чебышева на практике

48

Обычно при измерении некоторой физической величины принимают среднее арифметическое нескольких измерений в качестве истинного значения. При каких условиях это справедливо. Ответ на это даёт теорема Чебышева.

Действительно пусть X1 , X2 ,..., Xn – результаты измерений. Рассмотрим их как случайные величины.

1) X1 , X2 ,..., Xn – попарно независимы,

2) их дисперсии равномерно ограничены,

3) математическое ожидание постоянно.

Первое условие выполняется, если результаты измерений независимы. Второе условие выполняется, если прибор обеспечивает определённую точность. Третье – если измерения производятся без систематических (одного знака) ошибок, тогда математические ожидания одинаковы и равны истинному значению a :

 

æ

 

x + x

2

+...+ x

 

ö

 

 

 

 

 

lim Pç

 

 

1

n

- a

 

< ε ÷

= 1

 

 

 

n→∞

è

 

 

 

 

n

 

ø

 

На теореме Чебышева основан выборочный метод в математической статистике.

Функция распределения случайной величины

Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех её возможных значений. Но такой способ неприменим для непрерывной случайной величины, так как число возможных значений бесконечно. Поэтому, чтобы указать более общий способ задания любой случайной величины, вводят понятие функции распределения.

Определение: Функцией распределения называется функция F(x) ,

определяющая вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение меньшее x .

F(x) = P(X < x)

Определение: Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, имеющая непрерывную, кусочно-дифференцируемую функцию распределения.

Плотность распределения

Определение: Плотностью распределения f (x) непрерывной случайной величины X называется первая производная от функции распределения

49

f (x) = F ′(x)

Функция распределения является первообразной для плотности распределения. Для дискретной случайной величины плотность распределения не имеет смысла, так как функция распределения будет разрывной и производная не существует.

50

Лекция 10

Свойства функции распределения. График функции распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Нахождение

функции распределения по известной плотности распределения. Вероятностный смысл плотности распределения.

Свойства функции распределения

1) Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1] . 0 £ F(x) £ 1

Доказательство: так как вероятность любого события принадлежит отрезку [0,1] , а функция распределения определяется как вероятность, то её

значение тоже принадлежит отрезку [0,1] .

2) F(x)

– неубывающая функция, то есть при x2 > x1 F(x2 ) ³ F(x1 ) .

 

Доказательство:

 

 

 

F(x2 ) = P(X < x2 ) . Событие X < x2

можно разделить на два несовместных

события: X < x1 и x1 £ X < x2 . По теореме сложения вероятностей:

 

F(x2 ) = P(X < x2 ) = P(X < x1 ) + P(x1 £ X < x2 ) = F(x1 ) + P(x1

£ X < x2 )

(1)

F(x2 ) - F(x1 ) = P(x1 £ X < x2 )

 

 

 

 

 

Так

как P(x1 £ X < x2 ) ³ 0,

то F(x2 ) - F(x1 ) ³ 0 ,

следовательно

F(x2 ) ³ F(x1 )

 

 

 

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключённое в интервале (a,b) , определяется по формуле

P(a £ X < b) = F(b) - F(a)

Доказательство:

Подставим в (1) x2 = b , x1 = a , получим:

P(a £ X < b) = F(b) - F(a)

50

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определённое значение, равна нулю.

P(X = x1 ) = 0

Доказательство:

P(x1 £ X < x1 + Dx) = F(x1 + Dx) - F(x1 ) . Устремим Dx ® 0 , получим

P(X = x1 ) = F(x1 ) - F(x1 ) = 0 .

Следствие3:

P(a £ X < b) = P(a < X < b) = P(a < X £ b) = P(a £ X £ b)

Доказательство:

P(a £ X < b) = P(X = a) + P(a < X < b) = 0 + P(a < X < b) = P(a < X < b)

Остальные равенства доказываются аналогично.

3) Если возможные

значения

случайной величины X принадлежать

интервалу (a,b) , то F

(x) = 0 при

x £ a, F(x) = 1 при x ³ b .

Доказательство:

Действительно F(x) = P(X < x)

а) если x £ a , тогда событие X < x невозможно, так как X < x £ a , а случайная величина X не принимает значений, меньше a Þ P(X < x) = 0

при x £ a Þ F(x) = 0 .

x aa bb x

б) если x ³ b , событие X < x достоверно, так как все возможные значения, расположены на интервале (a,b) , а для них X < x Þ вероятность равна 1.

 

 

 

 

 

a

b

x

51

График функции распределения.

Доказанные свойства позволяют судить о графике функции распределения (рис.1).

1.Функция F (x) расположена в полосе [0,1] , так как 0 £ F(x) £ 1.

2.Функция F (x) неубывающая.

3. При x £ a F(x) = 0, x ³ b F(x) = 1

y

F(x)

1

Примерный

 

график

 

функции

распределения

 

непрерывной

случайной

 

величины

 

 

a

b

 

 

Рис. 1

Пример: Построить график функции распределения дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

X

1

2

4

P

0,1

0,1

0,2

1)x £ 1, F(x) = P(X < x) = 0 .

2)1 < x £ 2, F(x) = P(X < x) = 0,1.

3)2 < x £ 4, F(x) = 0,1+ 0,1 = 0,2 .

4)x > 4, F(x) = 1.

Функция распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид (рис.2).

52

F (x)

y

1

0,2

0,1

1

2

4

x

Рис 2

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.

Т. Вероятность того, что непрерывная случайная величина, имеющая плотность распределения f (x) , попадет в интервал (a,b) , определяется по формуле

P(a < X < b) = òb f (x)dx

a

Доказательство: По следствию 1 свойства (2) функции распределения

b

b

P(a X < b) = F(b) − F(a) = òF′(x)dx =ò f (x)dx . Так как

a

a

b

P(a X < b) = P(a < X < b) , то получаем формулу P(a < X < b) = ò f (x)dx

a

Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.

53