2.3 Уравнения Лауэ.

Рассмотрим возникновение дифракции на цепочке атомов, т.е. на одномерной решетке (рис.3). На одномерной решетке с периодом а РИ с длиной волны λ, падающее под углом α₀, рассеивается под углом α. Рассеяние, т.е. дифракция, будет наблюдаться, если разность хода (СК – ВА) лучей 1′ и 2′ равна целому числу Н длин волн

.

Рис.3

Преобразуем это уравнение к виду:

,

где и - единичные вектора, задающие направление падающего и рассеянного лучей соответственно; - единичный вектор рассеяния. Теперь

или ,

где - вектор рассеяния.

Итак, уравнение, удовлетворяющее условию максимума при дифракции, можно представить в двух видах:

или (1)

Уравнения (1) не зависят от угла β (см. рис3), который определяет поворот рассеянного луча вокруг оси ОО′ одномерной решётки (рассеяние цилиндрически симметрично).

Из первого уравнения выразим угол α, под которым будут рассеиваться рентгеновские лучи:

Из полученного выражения видно, что для каждой длины волны λ получается своё значение угла α, т.е. линейная решётка действует как спектральный прибор. При Н=1 возникает спектр первого порядка, при Н=2 – второго порядка и т.д. В симметричных направлениях при Н=-1, -2 и т.д. возникают также спектры 1-го, 2-го и т.д. порядков.

Если теперь принять во внимание, что каждый рассеивающий центр является источником сферической волны, то направления, соответствующие максимуму интерференции определённого (например, первого) порядка для данной длины волны, в пространстве лежат на поверхности конуса с углом при вершине α. На рис.4 буквой L обозначена линейная решётка. Очевидно, что если расположить фотоплёнку на некотором расстоянии от решётки, то следы дифракционных конусов будут на ней гиперболами (см. рис.4).

Н = 0

Н = 1

Н = 2

Рис.4

Теперь рассмотрим дифракционную картину от двумерной решётки (см. рис.1). Эту решётку можно рассматривать как две системы линейных решёток, параллельных трансляциям и . Пусть на эту решётку падает плоская волна, нормаль к которой образует с трансляциями и углы и . Уравнение дифракции для другой оси в кристалле запишем в виде

.

В этом случае каждая из двух систем линейных решёток даст на фотоплёнке свою систему гипербол и, очевидно, оба условия (1) и (2) будут удовлетворены для точек, лежащих на пересечении этих гипербол. Поэтому дифракционная картина на рентгеновской фотоплёнке будет иметь вид не гипербол, а следов их пересечения, т.е. точек (рис.5). При этом определённый спектр характеризуется уже парой чисел (Н и К). Например, спектры порядков (+1,+1), (+1,+2), (+1,-1) и т.д.

Рис.5

Рассмотрим, наконец, пространственную решётку. Её можно разбить на три системы линейных решёток, параллельных трансляциям , и . Дифракционные максимумы в этом случае получаются в направлениях, задаваемых углами α, β и γ, которые должны удовлетворять одновременно трём уравнениям:

или _{, (1)}

или , (2)

или . (3)

Система уравнений (1-3) называется системой уравнений Лауэ.

В этом случае порядок интерференции определяется уже тремя числами (HKL). Обнаруживается и новое обстоятельство: интерференционные максимумы возможны не для любых длин волн, а только для некоторых, совершенно определённых, поскольку наряду с условиями (1-3) для любого направления в пространстве автоматически удовлетворяются ещё условия

, (4)

. (4`)

Определим направляющие косинусы максимума интерференции из уравнений (1-3)

(5)

(5`)

. (5``)

Возведя в квадрат равенства (5-5``), складывая их и принимая во внимание формулы (4 и 4`), найдём

. (6)

Это уравнение и означает, что при данном направлении падающей плоской волны (заданные ) максимум интерференции определённого порядка (HKL) при дифракции на данной кристаллической решётке (известны ) получается только для длины волны, удовлетворяющей равенству (6).

Обратимся теперь к геометрической иллюстрации. Предположим для простоты, что нормаль к падающей плоской волне направлена вдоль трансляции с и что фотоплёнка также расположена нормально к трансляции с. Тогда направления максимумов интерференции для линейных решёток, параллельных трансляции с, расположатся по поверхности конусов, которые дадут на фотоплёнке систему кругов (если бы направление решёток не совпадало с трансляцией с или фотоплёнка располагалась под любым углом к трансляции с, то вместо кругов получились бы эллипсы). Каждый круг будет соответствовать определённой длине волны λ и определённому порядку L = const. C другой стороны, каждая из плоских решёток, построенных на трансляциях а и b, даст для данной длины волны совокупность интерференционных максимумов, лежащих на пересечении двух систем гипербол. Для того чтобы при λ = const были удовлетворены все три условия (1-3), нужно, чтобы круги на рис.6 прошли через точки пересечения гипербол, что при наличии одной определённой длины волны крайне маловероятно.

Таким образом, при освещении пространственной решётки монохроматическим излучением возникновение интерференции крайне маловероятно. Напротив, при освещении решётки излучением со сплошным спектром всегда найдётся подходящая длина волны, удовлетворяющая всем условиям интерференции. После прохождения через пространственную решётку волна, обладающая сплошным спектром, разбивается на систему монохроматических интерференционных лучей, дающих на фотоплёнке совокупность симметрично расположенных интерференционных пятен. Если бы можно было воспринимать пятна глазом, то они представились бы нам различно окрашенными.

Рис.6

Рассмотрим более подробно вектор рассеяния. Направление его определяется направлением векторной разности (рис.7):

Вектор перпендикулярен плоскости отражения (обозначена пунктиром на рис.7). Падающий и отражённый (рассеянный) лучи образуют с плоскостью отражения (кристаллографической плоскостью) угол θ. Угол между падающим и рассеянным лучами равен 2θ. Из прямоугольного треугольника (см. рис.7) следует, что

.

Рис.7

Отсюда , т.к. модуль . Тогда

.