2. Основы теории дифракции на кристаллах

2.1 Допущения теории дифракции

Поскольку длина волны РИ соизмерима с межатомными расстояниями, будет наблюдаться дифракция рентгеновских лучей на веществах с кристаллической решеткой (кристаллах). Следовательно, по дифракционной картине можно изучать структуру вещества, т.е. реализовать рентгеноструктурный анализ.

Теория дифракции рентгеновского излучения на кристалле построена на допущениях:

- лучи РИ параллельны и монохроматичны ;

- электроны сосредоточены в атоме (пренебрегаем размерами атома);

- кристаллическая решетка примитивна;

- атомы неподвижны;

- поглощение РИ в кристалле отсутствует;

- кристалл идеален;

- размеры кристалла малы по сравнению с расстоянием до наблюдателя.

Существует два подхода : метод Вульфа –Брэггов и метод Лауэ .

2.2 Уравнение Вульфа-Брэггов.

Дифракция рассматривается как результат взаимодействия волн после их зеркального отражения от атомных плоскостей.

Атомная плоскость – воображаемая плоскость, которую можно провести через атомы, из которых состоит кристаллическая решетка (рис.1).

Рис.1

Плоскости с атомами расположены на некотором расстоянии d_hkl, где hkl - индексы Миллера, определяющие положение атомной плоскости относительно начала координат (рис.2).

Рис.2

Рассмотрим распространение рентгеновских лучей на примере лучей 1 и 2. Луч 1 отражается атомом А и движется под тем же углом, под которым и падал. Лучи 2 и 2′ движутся параллельно лучам 1 и 1′, но луч 2 проходит, по сравнению с лучом 1, дополнительное расстояние А′B + BA″. Разность хода лучей приведет к возникновению разности их фаз. Если разность фаз лучей будет в точности равна 2, то лучи 1′ и 2′ будут в одной фазе и при их сложении можно наблюдать усиление. Разности же фаз 2 соответствует путь длиной равной длине волны рентгеновского излучения. Итак, лучи, отраженные параллельными плоскостями кристалла дадут максимум интенсивности, если А′B + BA″ = n , где n = 1,2,3... . Из рис.2 видно, что А′B = BA″ = d_hkl sin и А′B + BA″ = 2d_hkl sin . Таким образом, условие усиления отраженных лучей выглядит так:

2d_hkl sin  = n .

Это условие Вульфа–Брэггов. Русский кристаллограф Вульф и, независимо от него английские физики отец и сын Брэгги вывели это уравнение. Условие Вульфа–Брэггов связывает направления, вдоль которых возникают рассеянные рентгеновские лучи, т.е. угол , с межплоскостным расстоянием d_hkl в кристаллической решетке. Порядок отражения учитывает число n. Отражение, т.е. сложение волн, происходит лишь тогда, когда рассеянные волны оказываются в фазе, т.е. когда разность хода равна целому числу n длин волн .

Итак, уравнение В - Б описывает распределение максимумов дифракционной картины. Условие возникновения максимумов – синфазность отраженных волн. Используя это уравнение можно решать многие задачи рентгеноструктурного анализа. Для этого достаточно измерить углы Θ, соответствующие максимумам интенсивности на дифрактограмме (рентгенограмме), т.е. углы рассеяния рентгеновских лучей с известной длиной волны, а затем рассчитать межплоскостные расстояния d_hkl для исследуемого кристалла и потом с их помощью определить параметры его элементарной ячейки. Такой подход прост, но дает довольно ограниченные результаты. Богаче его, но сложнее подход Лауэ.