17. Неоклассическая задача потребления.

Неокл зад потреб-я заключ-ся в выборе набора тов и услуг при заданном отношении предпочтения (или ф-ции полезности) и «бюджетном огр-нии», кот относит потребителя к некот подмн-ву пространства товаров. Бюджетн огр-ние озн-ет, что денежные расходы на все тов и услуги не могут превышать денежного дохода. При этом вектор, состоящий из n цен в денежном выражении где - цена товара j и денежный дох I будут считаться заданными положит-ными параметрами. В таком случае бюджет огр-ние, отражающее то обстоятельство, что общ расх не может превышать дохода, будет иметь вид где - расход на тов j. Допустимым мн-вом для потребителя чвл-ся мн-во Х т.е. непустое компактное (замкнутое и ограниченное) выпуклое подмн-во пространства товаров. Граница, вдоль кот , называется бюджетн линией. В случае n=2 это прямая, при n=3 это – плоскость и в общ случае – гиперплоскость. Т.обр, неокл зад потреб-я заключ-ся в выборе такого набора из допустимого мн-ва Х, кот явл-ся самым предпочтительным, т.е. для всех остальных наборов x, принадлежащих Х, справедливо соотношение . В терминах функции полезности задача формир-ся след обр: или в развернутой форме , при условии где и I – заданные положит-ые параметры. Здесь мы имеем задачу нелинейного программирования, в кот инструментальными переменными явл-ся уровни потребления каждого из n товаров ; в кач-ве целевой ф-ции выступает ф-ция полезности , кот считается непрерывно дифференцируемой и имеет положит-ые первые частные производные и отрицат-но определенную метрицу Гессе вторых частных производных; огран-ем в форме неравенства явл-ся бюджетное огр-ние, в кот ф-ция орган-ния линейна при заданных ценах , а константой явл-ся дох I. В силу того, что целев ф-ция непрерывна, а допустим мн-во компактно, по тер Вейерштрасса решение этой зад сущ-ет, а т.к. целев ф-ция строго вогнуто и допус мн-во выпукло, то по «локально глобальной тереме» оно единственно. Неох и дост усл-ми для реш этой неокл зад потреб-ния явл-ся условия Куна-Таккера для (1). Определим ф-цию Лагранжа где λ – множитель Лагранжа, и запишем усл-вия Куна-Таккера (3). Все переменные и частные производные здесь вычисляются в , где вектор - решение задачи (1). Т. обр, поэтому для всех закупленных предметов потребления справедливо соотношение (для ). для всех j, для кот (2). Это правило формулируется так: отношение предельной полезности к цене д.б. одинаковым для всех закупленных предметов потребления. Считая, что некот товары были куплены, из (2) получим, что оптим-ый множитель Лагранжа д.б. положит-ым, а из этого следует по усл-ям Куна-Таккера, что весь доход д.б. израсходован , т.е. решение лежит на бюджетной прямой. Это сразу следует из факта ненасыщения: если использован не весь дох, то оставшуюся сумму денег можно было затратить на приобретение некот товара и тем самым увеличить полезность.

Считается, потребители покупают все виды товаров и услуг (в противном случае можно уменьшить размерность пространства товаров, исключив из рассмотрения непокуп-мые товары). Тогда усл-ие (3) примет вид или в развернутой форме Эти усл-я выполняются только в точке , где явл-ся решением задачи потребления. Например, в случае двух товаров решение должно удовлетворять системе

(4)Геометрически реш лежит в точке касания бюдж линии и кривой безразличия (рис 1). Наклон бюдж линии равен , а наклон крив безразличия находится из выражения и составляет В точке касания наклоны равны или (5). Это условие можно получить из (4) исключив множитель Лагранжа. Оптим мн-ль Лагранжа, равный общему отношению предельной полезности к цене в (5), измеряется в полезности единицы тов j, деленной на кол-во долларов на единицу тов j, чо сводится к полезности на доллар. λ* следует интерпретировать как пред полезность добавочного дохода.