35. Задачи линейного программирования. Различные формы записи. Способ решения. Примеры задач.

Под задачей линейного программирования (ЗЛП) понимается задача нахождения в векторном пространстве такого вектора x*, который обеспечивает оптимальное (максимальное или минимальное значение линейной функции и при этом принадлежит векторной области, заданной линейными ограничениями Функцию L(x) называют целевой функцией ЗЛП, ее оптимальное значение обозначают L*. Множество ограничений называют допустимым множеством, его элементы – допустимыми веторами, а вектор x* - решением задачи (оптимальной точкой). Часто для удобства исследования и при построении метода решения фиксируется та или иная запись задачи. Так, часто используется задача в следующей форме: Такая форма записи называется стандартной или симметричной. Кроме того выделяют каноническую форму записи: Вне зависимости от того, как записана исходная задача, она может быть переписана в любой желательной форме.

.

33. Динамический межотраслевой баланс

Существуют различные типы динамических моделей. Все они довольно сложны и различаются в основном по способу описания взаимосвязи инвестиций с динамикой объемов производства. Особую группу составляют магистральные модели. Они позволяют рассчитывать оптимальные траектории экономического роста (магистрали). Критерии оптимальности, а также предпосылки и допущения, при которых формулируются модели, могут быть разными. Рассмотрим магистральную модель равновесного роста, предложенную американским математиком Дж. Фон Нейманом. Она называется равновесной потому, что моделирует процесс развития экономики в предположении, что пропорции потребления и инвестиций постоянны. Будем рассматривать развитие экономической системы в дискретном времени (по годам) , Где - вектор валового производства; - соответствующий конечный продукт; -вектор инвестиций; - вектор потребления. Пусть известен вектор , определяющий сложившуюся структуру потребления. Будем считать его постоянным. Тогда где - суммарный конечный продукт. Для его определения можно воспользоваться тем, что суммарный конечный продукт равен суммарной условно-чистой продукции: где вектор относительно условно-чистой продукции. Его компоненты определяются по формуле: Соотношение, выражающее потребление как функцию валового производства . Рассмотрим теперь, какова связь между валовым производством и инвестициями. Очевидно, что инвестиционный спрос зависит от желаемого прироста валового производства

где K – матрица коэффициентов капиталоемкости (приростной фондоемкости). Она характеризует капитальные затраты, необходимые для наращивания производственного потенциала отраслей. Элемент этой матрицы показывает, какое количество продукции i-ой отрасли необходимо для того, чтобы за счет наращивания фондов обеспечить единичный прирост производства в j-ой отрасли. В модели предполагается стабильный, равновесный рост. Если темп роста обозначить через , то Из этого следует, что . Итак, мы выразили две составляющие конечного продукта через валовое производство. Подставляя (2) и (3) в (1), получаем . Заметим, что в этой модели индекс времени не играет никакой роли. Так получилось потому, что модель сформулирована в предположении, что ситуация в каждом следующем году структурно повторяет ситуацию предыдущего года. Опуская индекс времени и осуществляя простейшие преобразования из соотношения (4) получаем Если предположить, что в матрице приростной фондоемкости отсутствуют нулевые строки (в общем случае это условие не выполняется, поскольку не все отрасли производят средства производства), то, умножив обе части последнего соотношения на получаем Где Таким образом, расчет параметров равновесного роста сводится к определению собственных значений и собственных векторов матрицы . В нашем случае множество собственных значений есть множество возможных темпов роста. Очевидно, нас интересует наибольший. Поэтому здесь необходимо решить не общую, а так называемую частную задачу, то есть найти наибольшее собственное значение и соответствующий ему вектор Х. Как известно, собственные векторы находятся с точностью до постоянного множителя. Можно так подобрать этот множитель, что сумма компонентов вектора Х будет равна 1. В этом случае мы получим магистраль фон Неймана – пропорции валового производства, при которых обеспечивается сложившаяся структура потребления и достигается наибольший ежегодный экономический рост. Модель фон Неймана формулируется при жестких условиях и предположениях, поэтому представляет собой сугубо абстрактное построение. Тем не менее она имеет важное значение, поскольку дает теоретическое обоснование того, что одним из условий интенсивного, устойчивого развития экономики является оптимизация пропорций валового производства.