28. Тест Дарбина-Уотсона на автокорреляцию по времени.

Существует несколько подходов к тестированию регрессионных остатков на автокорреляцию. Во многих статистических пакетах решение задач по построению регрессии дополняется графическим представлением результатов моделирования. В том числе предоставляется возможность визуализации поведения отклонений во времени. Чаще других используется критерий Дарбина-Уотсона. В его основу положена простая идея, в соответсвии с которой, если корреляция случайной составляющей регрессии не равна 0, то она должна присутсвовать и в остатках регрессии , получающихся в результате обычного МНК. В тесте Дарбина-Уотсона для оценки автокорреляции используется статистика Корректное использование статистики возможно при выполнении следующих условий:

1. модель, для которой возникает необходимость примения этого критерия должна содержать свободный член;

2. предполагается, что случайная составляющая модели определяется в соответствии с авторегрессионной схемой первого порядка;

3. наблюдения, используемые для построения модели, имеют одинаковую периодичность, то есть в них нет пропусков;

4. критерий нельзя применять, если в регрессионной модели в число обясняющих переменных входит зависимая переменная с лагом в один период. Такое ограничение связано с тем, что распределение статистики d зависит не только от числа наблюдений, но и от значений самих регрессоров. А это означает, что тест перестает играть роль критерия в том смысле, что нельзя указать критическую область, которая позволяла бы принимтаь решение об отсутствии автокорреляции в тех случаях, когда в эту область попадают наблюдаемые значения статистики d.

В моделях, содержащих авторегрессионные члены, разработан критерий для обнаружения автокоррелированности остатков: , где - оценка коэффициента авторегрессии; n-число наблюдений; - выборочная дисперсия коэффициента при лаговой переменной уравнения регрессии . При большом объеме выборки и справедливости нулевой гипотезы статистика h имеет стандартизированное нормальное распределение (h N(0,1)). Это позволяет по заданному уровню значимости определить критическую точку и сравнить h-статистику с ней. Если h-статистика больше критической точки, то нулевая гипотеза отвергается. Значение рассчитывается с помощью статистики Дарбина-Уотсона по формуле . А представляет собой квадрат стандартной ошибки оценки

Таким образом, статистика h легко вычисляется на основе данных оцененной регрессии (3). Единственная проблема, которая может возникнуть связана с тем, что вполне возможен случай, когда n >1.

32.Показатели качества регрессии. Коэффициенты корреляции, детерминации, дисперсионное отношение Фишера, стандартные ошибки.

При построении линейной регрессии используется линейный коэффициент корреляции , который можно рассчитать по следующим формулам: Линейный коэффициент регрессии находится в пределах [-1;1]. Положительное значение коэффициента свидетельствует о наличии прямой связи, отрицательное – обратной. Чем ближе абсолютное значение коэффициента к единице, тем сильнее линейная связь между факторами. Но следует иметь в виду, что близость абсолютной величины коэффициента к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой спецификации модели связь между признаками может быть достаточно тесной. Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат коэффициента корреляции, называемый коэффициентом детерминации . Он характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака. Коэффициент детерминации дает относительную меру влияния фактора на результат, фиксируя одновременно и роль ошибок. Чем ближе его значение к единице, тем в большей степени уравнение регрессии пригодно для прогнозирования. Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F-критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. Где - значения показателя, объясненные регрессией; – среднее значение регрессии; n – число наблюдений; m – число параметров при переменной х, число степеней свободы. Значение F-критерия Фишера сравнивается с табличным значением при уровне значимости и степенях свободы и . При этом, если фактическое значение F-критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом. В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из них определяется стандартная ошибка m. Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле: где остаточная дисперсия на одну степень свободы. Для оценки существенности коэфиента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, то есть определяется фактическое значение t-критерия Стьюдента: (аналогично для параметра a)