227. Прийняття гіпотез стосовно розподілів випадкових параметрів.

В математиці та статистиці, розподіл імовірностей (який має математично описуватися функцією розподілу ймовірностей), ставить у відповідність кожному інтервалу ймовірність таким чином, що аксіоми ймовірностей виконуються. Математичною мовою, функція розподілу ймовірностей є ймовірнісною мірою, визначеною на борелівській алгебрі інтервалів.

Розподіл імовірностей є окремим випадком більш загального означення ймовірнісної міри, яка є функцією, що ставить у відповідність вимірним множинам з вимірного простору ймовірності за аксіомами Колмогорова.

Згідно з означенням П. Лапласа, мірою ймовірності є дріб, чисельником якого є число сприятливих подій, а знаменником - число всіх можливих випадків. ^[1]

Також, деякі вчені означають розподіл як ймовірнісну міру, індуковану випадковою величиною X на деякому інтервалі — ймовірність множини B є P(X ^{− 1}(B)). Однак, у цій статті розглядаємо лише ймовірнісні міри на множині інтервалів числової прямої. Строге визначення Будь-яка випадкова величина задається своїм розподілом імовірностей. Якщо X є випадковою величиною, його розподіл ставить у відповідність відрізкам [a, b] ймовірність Pr[a ≤ X ≤ b], тобто ймовірність, що випадкова величина X прийме значення з інтервалу [a, b]. Розподіл ймовірностей величини X може бути однозначно описаний своєюфункцією розподілу ймовірностей F(x), яка визначається, як

для усіх x з R.

Розподіл є дискретним, якщо його функція розподілу складається зі скінченної послідовності уступів, що фактично означає, що величина X є дискретною випадковою величиною: вона може набувати значення лише із визначеної скінченної (або зліченної) множини. Дехто визначає неперервний розподіл як такий, що його функція розподілу єнеперервною функцією, що означає, що вона відповідає такій випадковій величині X для якої Pr[ X = x ] = 0 для усіх x в R. Інше визначення використовує термін неперервна функція розподілу лише для абсолютно неперервного розподілу. В термінах функції щільності, на множині дійсних чисел визначено невід'ємний інтеграл Лебега функції fщо задовольняє умові

для всіх a та b. Очевидно, для дискретних розподілів функція щільності не визначена; хоча треба відмітити, що для деяких неперервних розподілів, як драбина Канторафункція щільності також не визначена.

Дискретна функція розподілу виражається як -

для  . Де   є ймовірністю елементарної події.

Розподіл імовірностей суми двох незалежних випадкових величин є згорткою їх функцій щільності.

Розподіл імовірностей різниці двох незалежних випадкових величин є крос-кореляцією їх функцій щільності. (Опционально)

Список важливих ймовірнісних розподілів

Деякі ймовірнісні розподіли є дуже важливим в теорії та практиці, тож їм дали свої назви:

Дискретні розподіли

Зі скінченною множиною подій

Розподіл Бернуллі, що приймає значення 1 з ймовірністю p і значення 0 з ймовірністю q = 1 − p.

Розподіл Радемахера що приймає значення 1 з імовірністю 1/2 та значення −1 з імовірністю 1/2.

Біноміальний розподіл описує кількість успіхів в схемі незалежних випробувань Бернуллі.

Вироджений розподіл в x₀, де X приймає значення x₀ завжди. На перший погляд, такий розподіл не виглядає ймовірнісним, але він задовольняє означенню випадкової величини. Це часто стає в нагоді, оскільки вкладає однаковий зміст у константи і випадкові величини.

З нескінченою множиною подій

Розподіл Гіббса

Розподіл Максвелла-Больцмана

Розподіл Бозе-Ейнштейна

Розподіл Фермі-Дірака

Геометричний розподіл, дискретний розподіл, що описує кількість спроб необхідних щоб отримати перший успіх в схемі незалежних випробувань Бернуллі.

логарифмічний (ряд) розподіл

Неперервні розподіли

Визначені на замкненому інтервалі

Бета розподіл на [0,1], частковим випадком якого є рівномірний розподіл, використовується для оцінки ймовірностей успіху.

Неперервний рівномірний розподіл на [a,b], має однакове значення в усіх точках інтервалу.

Прямокутний розподіл рівномірний розподіл на [-1/2,1/2].

Визначений на пів-інтервалі [0,∞)

Хі-розподіл

Нецентрований хі-розподіл

Розподіл хі-квадрат, що є сумою квадратів n незалежних Гаусівських випадкових величин. Це частковий випадок Гамма-розподілу.

Експоненціальний розподіл, що описує час між двома послідовними рідкими випадковими подіями під час процесу без післядії.