7 Сглаживание данных эксперимента

Сглаживание данных эксперимента является специальной операцией усреднения с помощью интерполяционных полиномов, обеспечивающей получение уточненного значения по заданному значениюи ряду близлежащих значений, известных со случайной погрешностью.

Операции сглаживания могут применяться для подготовки таблицы отсчетов по данным таблицы наблюдений значений и.

Особенностью операций сглаживания является отсутствие в формулах сглаживания параметра времени и интервала временимежду значениями.

7.1 Линейное сглаживание

Формулы линейного сглаживания аналогичны формулам средних арифметических значений и содержат нечетное число близлежащих значений .

Линейное сглаживание по трем точкам реализуется с помощью следующей формулы:

.

Линейное сглаживание по пяти точкам проводится с использованием формулы:

.

Недостатком метода является невозможность применения расчетных формул на границах таблицы наблюдений.

7.2 Нелинейное сглаживание

Формулы нелинейного сглаживания выведены на основании степенных полиномов, порядок которых определяется числом точек, используемых при сглаживании.

Нелинейное сглаживание по семи точкам обеспечивает усреднение на основе применения полинома третьей степени и реализуется формулой:

.

7.3 Функции сглаживания данных в Mathcad 2000

Система Mathcad 2000 позволяет выполнить операции статистического сглаживания данных эксперимента различными методами. Во встроенных функциях, реализующих эти методы, имеется слово (гладкий).

Функция применяется для вектора сдействительными числами, сглаживающий-мерный вектор вещественных чиселметодом скользящей медианы. Параметрзадает ширину окна, по которому происходит сглаживание.

Функция возвращает-мерный вектор сглаженных значений, вычисленных на основе распределения Гаусса. Параметрыи--мерные векторы действительных чисел. Параметр(полоса пропускания) задает ширину окна сглаживания. Параметрдолжен в несколько раз превышать интервал между точками по оси.

Функция возвращает-мерный вектор сглаженных, вычисленных на основе процедуры линейного сглаживания методом наименьших квадратов по правилу-ближайших соседей с адаптивным выбором. Параметрыи--мерные векторы действительных чисел. Элементы векторадолжны идти в порядке возрастания.

7.4 Сглаживание характеристики скользящим усреднением

Метод скользящего усреднения заключается в том, что на некотором интервале времени (- любое целое число, лучше четное) осуществляется последовательное усреднение ординат экспериментальной характеристики() по формуле

, (7.1)

где ;

- усредненное значение ординаты экспериментальной характеристики.

Интервал называется памятью линейного фильтра. Этот фильтр не пропускает или существенно ослабляет гармоники экспериментальной характеристикис частотой выше.

При правильном выборе выделение полезного сигнала может быть выполнено достаточно точно. Уменьшение памяти против оптимального значения ведет к недостаточному выравниванию экспериментальных данных, а увеличение – к искажению существенных особенностей полезного сигнала и потери части ординатс индексами

и .

Так как начальный участок экспериментальной переходной характеристики определяет структуру передаточной функции СИ, а конечный – коэффициент преобразования, то для сглаживания скользящим усреднением необходимо начинать регистрацию несколько раньше момента создания испытательного сигнала и прекращать при. По этим же соображениям для сглаживанияв начале берут, затем визуально оцениваюти, если необходимо, увеличивают.

Выполним сглаживание скользящим усреднением некоторой экспериментальной переходной характеристики, ординаты которой приведены в таблице 7.1 в значениях причерез.

Таблица 7.1 – Сглаживание переходной характеристики при

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 40 80 120 160 200 240 280 320 360	1 4 0 5 2 8 7 20 14 22	- - 2,4 3,8 4,4 8,4 10,2 14,2 16,6 21,2	10 11 12 13 14 15 16 17 18 19	400 440 480 520 560 600 640 680 720 760	20 30 23 37 29 34 31 37 33 30	21,8 26,4 27,8 30,6 30,8 33,6 32,8 33 - -

Выберем . При этом будут потеряны ординаты с индексами

и ,

т. е. .

По выражению (7.1) найдем ординату переходной характеристики:

Ордината будет равна:

Остальные ординаты находятся аналогично. Результаты расчетов приведены в таблице 7.1. Графическое изображение результата сглаживания дано на рисунке 7.1.

Рисунок 7.1 –Сглаживание экспериментальной переходной характеристики

Кроме рассмотренных методов для сглаживания экспериментальных характеристик применяются метод четвертных разностей, с помощью рядов Фурье и степенных многочленов.