6.3 Спектральные характеристики сигналов

Спектром функции называется совокупность ее гармонических составляющих(гармоник), образующих ряд Фурье.

Спектральный анализ производится для периодических и непериодических (финитных) функций.

Поскольку при экспериментальном определении переходной или импульсной переходной характеристики используются непериодические испытательные сигналы и, соответственно, регистрируются непериодические отклики с ИСИ, рассмотрим спектральный анализ только финитных функций.

Если функция полностью определена на отрезке, то еекомплексная спектральная плотность равна

,

где - модуль спектральной плотности;

- фаза спектральной плотности на частоте ,

- вещественная часть спектральной плотности;

- мнимая часть спектральной плотности.

При этом

Для непериодических функций с наложенным выше условием спектральная плотность может быть выражена через преобразование Фурье:

.

Если для функции может быть найдено изображение по Лапласу, то спектральная плотность этой функции определяется как

. (6.1)

Физический смысл спектральной плотности заключается в том, что ее модульхарактеризует амплитуды гармоник с соответствующими частотами, образующих в сумме функцию, а ее фазауказывает на величину фазового сдвига соответствующей гармоники относительно гармоники с.

Кроме того, модуль спектральной плотности можно использовать как характеристику распределения энергии функции (сигнала)по частотам гармоник, при этом средняя величина энергии сигнала численно равна площади под кривой.

Рассмотрим на примерах определение спектральных характеристик некоторых сигналов, наиболее часто встречающихся при экспериментальном определении динамических характеристик СИ.

Как было указано выше, сигнал с ИСИ содержит полезный сигнал и случайный сигнал (помеху):

.

Определение спектральных характеристик полезного сигнала наиболее удобно производить с использованием преобразования Лапласа, поскольку для всех типовых динамических моделей СИ известны передаточные функции (см. таблицу 1.1). Выходной же сигнал с ИСИ в операторной форме определяется, как известно, выражением

Предположим, что полезный сигнал и помеха стационарны и некоррелированы. В этом случае для полезного сигнала справедливо соотношение

.

Допустим далее, что передаточная функция ИСИ соответствует динамической модели № 3 со следующими значениями постоянных времени

Пример 1. Испытательный сигнал представляет собой единичную ступенчатую функцию, т.е. . Изображение по Лапласу такой функции имеет вид

Тогда изображение по Лапласу полезного сигнала примет вид

.

Комплексная спектральная плотность сигнала с учетом (6.1) запишется как

Модуль и фаза спектральной плотности соответственно равны:

На рисунках 6.6 и 6.7 представлены диаграммы найденных спектральных характеристик рассматриваемого ИСИ.

Пример 2. Испытательный сигнал представляет собой ХИС вида (3.3), т.е.

( 6.2)

Пусть параметр этого сигнала будет равен.

Рисунок 6.6 – Модуль спектральной плотности сигнала с ИСИ

Рисунок 6.7 – Фаза спектральной плотности сигнала с ИСИ

Изображение по Лапласу функции (6.2) будет имеет вид:

Тогда изображение по Лапласу полезного сигнала примет вид:

.

Комплексная спектральная плотность сигнала с учетом (6.1) запишется как

Модуль и фаза спектральной плотности соответственно равны:

На рисунках 6.8 и 6.9 представлены диаграммы найденных спектральных характеристик рассматриваемого ИСИ.

Рисунок 6.8 –– Модуль спектральной плотности сигнала с ИСИ

Рисунок 6.9 - Фаза спектральной плотности сигнала с ИСИ