4.3 Применение регрессионного анализа для определения динамических характеристик си

Другим широко распространенным методом обработки экспериментальных данных является регрессионный анализ. Задачей регрессионного анализа является определение параметров некоторой заданной функции, при которых между этой функцией и экспериментальными значениями обеспечивалась бы наименьшее среднеквадратичное отклонение. При этом сама заданная функция называется функцией регрессии, а вид этой функции определяет название регрессии, например, линейная регрессия, гиперболическая регрессия, полиномиальная регрессия и т. п.

Если функция регрессии задана наперед и определяются лишь ее параметры, то регрессионный анализ относится к параметрическим методам определения динамических характеристик СИ. Если же функция регрессии подбирается и при этом определяются ее параметры, то в этом случае регрессионный анализ будет относиться к структурно-параметрическим методам.

4.3.1 Математические аспекты реализации регрессионного анализа

Исходной информацией для проведения регрессионного анализа является наличие экспериментальных значений выходного сигнала с ИСИв соответствующие моменты времени(иногда говорят -пар значенийи). Этизначений выбираются по определенным правилам, установленным в зависимости от способа регистрации выходного сигнала с ИСИ при эксперименте. Поскольку во время эксперимента на ИСИ действуют случайные возмущения, то в итоге выходной сигналсостоит из полезного сигналаи случайного сигнала:

.

Как правило, случайный сигнал имеет нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием, т. е. представляет собой стационарный центрированный случайный процесс.

На рисунке 4.3 представлен пример экспериментальной (не зарегистрированной) переходной характеристики ИСИ, содержащей полезный сигнали случайный сигналсо среднеквадратичным отклонением. Для упрощения дальнейших рассуждений допустим, что этот сигнал не содержит систематической составляющей погрешности, поскольку (если ее величина или характер изменения известен) она может быть учтена и исключена при измерениях.

- сигнал с выхода ИСИ; - полезный сигнал;- случайный сигнал

Рисунок 4.3

Для реализации регрессионного анализа экспериментальную характеристику (сигнал) необходимо заменить таблицей отсчетов. С точки зрения теории регрессионного анализа число экспериментальных значений (точек)и их расположение друг относительно друга по аргументу (равноотстоящие или не равноотстоящие по времени) строго не регламентировано. Однако есть соответствующие рекомендации в литературе, которыми пользуются при обработке экспериментальных данных.

На практике сигнал может быть отсчитан в заданные моменты времени по показывающему устройству регистрирующего прибора или же преобразован в код в соответствии со значением измеряемого сигнала с помощью цифрового измерительного устройства (ЦИУ). В последнем случае непрерывная измеряемая величина в ЦИУ дискретизируется во времени и квантуется по уровню. Код в ЦИУ вырабатывается в соответствии с квантованной величиной, принимается равной измеряемой величине и отображается в показаниях ЦИУ. Время, затрачиваемое ЦИУ на дискретизацию, квантование и отображение измерительной информации, называется временем преобразования ЦИУ. Промежуток между двумя соседними моментами времени дискретизации называется шагом дискретизации, интервалом времени между измерениями или длительностью цикла измерения. Время преобразования и длительность цикла измерения могут быть постоянными или переменными в зависимости от вида ЦИУ. Например, в ЦИУ типа вольтметра универсального В7-16А имеется возможность устанавливать время преобразования 1, 20или 100. Длительность же цикла измерения может управляться автоматически от внутреннего источника импульсов с периодом 0,1 – 5при времени преобразования 1и 20и 0,2 – 5при времени преобразования 100, либо вручную нажатием кнопки «Ручной пуск» или дистанционно от внешнего источника импульсов частотой не более 1, 50и 10соответственно выбранному времени преобразования.

Предположим, что использовано ЦИУ с длительностью цикла измерения в 10 (частота следования импульсов от внешнего источника составляет 0,1), временем преобразования 20и четырехзначным (после запятой) цифровым отсчетом. Тогда зарегистрированный с помощью ЦИУ сигнал, имеющий размерность, например, в вольтах на рисунке 4.3 представлял бы из себя набор точек (точек отсчета), каждая из которых характеризует значение сигнала в соответствующий момент времени (см. рисунок 4.4). При этом таблица отсчетов по показаниям ЦИУ приняла бы следующий вид (см. таблицу 4.5).

Таблица 4.5 – Таблица отсчетов по показаниям ЦИУ

	0	10	20	30	40	50	60	70
	- 0,1026	0,3075	0,7084	0,8533	0,8512	0,8238	0,9500	0,9759

80	90	100
1,0158	1,0152	1,0225

Рисунок 4.4

Таблицу 4.5 отсчетов и диаграмму, изображенную на рисунке 4.4, можно получить и без применения ЦИУ. Для этого можно, например, зарегистрировать на диаграммной (бумажной) ленте переходную характеристику ИСИ и затем измерить ординаты сигнала в необходимые моменты времени с учетом масштабов регистрации.

Следует иметь в виду, что какой бы не был регистрирующий прибор (аналоговый, цифровой, комбинированный и т. д.) он, в силу своих характеристик погрешности, регистрирует сигнал с погрешностью. Поэтому таблица отсчетов, полученная по данным регистрирующего прибора, всегда имеет погрешности в занесенных в нее значениях (в том числе и по времени) относительно сигнала.

При проведении регрессионного анализа не следует смешивать понятия таблица отсчетов и число пар экспериментальных значений выходного сигнала с ИСИ. Число определяет количество пар значений выходного сигнала с ИСИ, выбранных из таблицы отсчетов и может быть как равно числу отсчетов, так и быть меньше числа отсчетов. Если числовыбрано меньшим, чем число отсчетов в таблице, то какие именно значения выбираются из таблицы отсчетов является отдельным вопросом.

Следующим этапом регрессионного анализа является создание вспомогательной функции - отклонения , которое бы отвечало условию

, (4.3)

где - значение функции регрессии в момент времени.

Для выполнения условия ( ) необходимо вначале найти аналитические выражения для частных производных от по всем параметрам, входящих в функцию регрессии. Затем приравнять эти частные производные нулю, составить из них систему дифференциальных уравнений и решить эту систему относительнонеизвестных параметров функции регрессии, а именно:

где --й параметр функции регрессии ().

Найденные величины параметров функции регрессии обеспечивают наилучшее приближение этой функции к выбранным из таблицы отсчетов значениям зарегистрированного выходного сигнала ИСИ.

В целом регрессионный анализ может быть представлен в виде последовательности следующих процедур.

а) По экспериментальной зарегистрированной динамической характеристики ИСИ формируется таблица отсчетов.

б) Из таблицы отсчетов выбираются пар значенийи.

в) Выбирается функция регрессии.

д) Формируется отклонение .

е) Формируются частные производные отклонения по всем параметрам функции регрессии.

ж) Решается система дифференциальных уравнений в частных производных относительно неизвестных параметров функции регрессии.

и) Оценивается степень сходимости функции регрессии и зарегистрированной экспериментальной динамической характеристики ИСИ по какому-либо критерию адекватности.

к) Делается вывод о достаточной или недостаточной точности описания выбранной функцией регрессии экспериментальной динамической характеристики ИСИ.

л) В случае недостаточной точности описания выбирают другую функцию регрессии и (или) другие и(возможно также изменение числа). Затем повторяют все процедуры до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность описания выбранной функцией регрессии экспериментальной динамической характеристики ИСИ.