22.Критерий оптимальности стратегий

Для того чтобы P*Q* были опт.страт-ми, а число V ценой игры необходимо и достаточно чтобы выполнялись неравенства. M(PiQ*) M(P*Qj) где Pi( i=1,2,…m)-всевозможные чистые стратегии первого игрока Qj, (j=1,2,…n)-всевозможные чистые стратегии второго игрока

23. Игра с седловой точкой.

Точка a_{io jo} матрицы выигрышей А назыв. седловой, если для любых i и j

Выполн-ся неравен-во: a_{i jo ≤} a_{io jo ≤} a_{io j}

Седл. точка явл. элементом матрицы выигрышей наименьшей в строке и наибольшей в столбце.

1 2 3

A= 4 5 6 a₃₁= 7 (седл. Точка) , чистые страт. P₁^*(0, 0,1) Q₁^*(1,0,0)

7 8 9

Теорема: Для того, чтобы игра имела решение в чистых страт. Необходимо и достаточно, чтобы она имела седловую точку.

Доминирование стратегий! -Если какая-либо из стратегий всегда невыгодна 1-ому игроку, то она называется доминируемой; если как.-либо из стратегий всегда невыгодна 2-ому игроку, то она доминирующая.

24.Численный метод решения матрич. Игры метод Брауна-Робинсона.

Два игрока поочередно выбирают свои коды в матрице выигрышей, 1-ый выбирает свой код таким образом, чтобы его выигрыш был max. 2-ой выбирает свой код, чтобы его проигрыш был min. Каждый из игроков знает предшествующий ход соперника и выбирает свою стратегию , чтобы она была оптимальна по отнош-ю к страт. другого. Метод медленно сходится, выигрыш можно вычисл. как средне-арифметич. В стратегии входят пропорционально их использованию.

25. Целочисленные задачи линейного программирования. Метод Гомори.

Алгоритм:

1. Решается исходная задача без учёта условия целочисленности.

2. Для нахождения целочисленного решения выбирается значение базисной переменной с наибольшей дробной частью. Для данного ограничения используется отсечение Гомори. Отсечение Гомори присоединяется к исходной задаче. Задача решается двойственным симплекс – методом. Если план не оптимален, задача повторяется с отсечением Гомори.

Согласно методу Гомори задача линейного программирования сначала решается симплексным методом без учеба целочисленности переменных. Если оптимальное решение оказывается целочисленным, то решение заканчивается. Если оптимальное решение нецелочисленное, то из системы ограничений выбирается уравнение, для которого дробная часть координаты оптимального решения имеет наибольшее значение, и на его основе составляется дополнительное ограничение. Дополнительное ограничение остекает от области допустимых решений нецелочисленное оптимальное решение, но при этом сохраняет целочисленные вершины этой области.

Задача не имеет целочисленное решение, если оптимальное решение содержит координату с дробной частью и все коэффициенты соответствующего уравнения являются целыми.

26. Двойственный симплекс-метод.

Двойственный симплекс-метод, как и обычный симплексный метод, позволяет в результате последовательного улучшения так называемых почти допустимых опорных решений либо найти оптимальное решение, либо установить его отсутствие.

Алгоритм двойственного симплексного метода:

1. Привести задачу к каноническому виду

2. Найти ПДОР с базисом из единичных векторов, вычислить оценки векторов условий по базису этого решения и, если они согласуются с признаком оптимальности, решить задачу двойственным симплексным методом.

3. Если ПДОР не имеет отрицательных координат, то оно является допустимым и оптимальным. Решение задачи заканчивается.

4. Если ПДОР имеет отрицательную координату, для которой соответствующие коэффициенты разложений всех векторов условий неотрицательные, то задача не имеет решения ввиду несовместимости системы ограничений. Решение задачи прекращается.

5. Если имеется хотя бы одна отрицательная координата ПДОР Xi0<0 и при этом найдётся хотя бы один отрицательный коэффициент Xj разложений векторов условий Aj по базису решения, перейти к новому решению, на котором значение целевой функции будет ближе к оптимальному. Номер вектора Ak, вводимого в базис, находится с использованием параметра . Номер вектора Ai, выводимого из базиса, находится из условия min {Xi0 i0} в задаче на максимум max {-Xi0 i0} или в задаче на минимум. Далее перейти к пункту 3 данного алгоритма.

Билет 27. Понятие о графе. Задача о кратчайшем пути в графе. Метод Форда. Обоснование алгоритма Форда.

П усть х= х1, х2…хn элементы некоторого числового множества

u = u1,u2…un множество упорядоченных пар вида (xi, xj)

1. Если пара (xi, xj) упорядочена, то она называется дугой

2. Если (xi, xj) неупорядочена – ребром

Г рафом называется пара множеств G= x,u если граф состоит из 2х, то он называется ориентированным графом или орграфом

Г раф G – подграф графа G, если x<x, u<u

Граф называется основным, если вершины одного графа совпадают с вершинами другого графа

Граф называется полным, если для любых 2х вершин существует соединяющий их путь.

Путь – последовательность смежных вершин

Граф может быть задан матрицей смежностей

Матрица смежностей – симметричная, состоит из нулей и единиц. Если вершины соединены ребром или дугой, то на пересечении матрицы ставится единица.

Граф называется взвешенным, если в каждой дуге графа сопоставлено некоторое число, которое называется весом.

Если в матрице смежностей заменить 1 на веса, то получим матрицу весов

Деревом называется граф без петель и циклов

Граф называется связным, если для любой пары вершин имеется хотя бы один путь

Задача о кратчайшем пути в графе

Рассмотрим орграф, что для любых 2х его вершин из одной исходит, а в другую заходит не более одной дуги. Будем рассматривать взвешенные графы. Каждой дуге сопоставим число, которое называется длиной дуги. Длинной пути называется сумма длин дуг, входящих в этот путь. Требуется найти кротчайший путь в графе между 2мя выделенными вершинами.

Алгоритм Форда Фалкерсона

Состоит из 2х шагов: начального и общего

1. Н ачальный шаг: первой из двух выделенных вершин в графе присваивается метка (0, х ) всем остальным ( , х ) Вершина х0 получает постоянную метку

( 0, х )*

2. Общий шаг : если вершины не имеют окончательных меток и являются последовательными вершинами xi, то им присваиваются новые временные метки по следующему правилу:

Хi имела постоянную метку

Xi = (li*, lj)

L(xj)=min (l(xj) – li+lij)

Среди всех временных меток выбирается min. И данная вершина с min меткой получает постоянную метку.