4. Основные теоремы симплекс-метода.

Теорема 1. (Достаточное условие оптимальности опорного плана). Если решается каноническая задача и при этом все элементы оценочной строки симплексной таблицы неотрицательны, то соответствующий план этой задачи является оптимальным, а элемент представляет собой наибольшее значение целевой функции на множестве планов задачи.

Теорема 2. (Случай неограниченности целевой функции). Если оценочная строка канонической задачи содержит отрицательный элемент, например, а в столбце, соответствующем неизвестному нет ни одного положительного элемента, то на множестве планов задачи целевая функция не ограничена сверху.

Теорема 3. (Об улучшении опорного плана). Если решается каноническая задача и в оценочной строке симплексной таблицы есть хотя бы один отрицательный элемент а соответствующей этой строке столбец содержит хотя бы один положительный элемент, то можно улучшить план, выполнив преобразование однократного замещения.

5. Алгоритм симплекс-метода .Теорема о неединственности оптимального плана канонической задачи.

Алгоритм симплекс-метода   

            Подготовительный этап

            Приводим задачу ЛП  к виду

         

 

            Шаг 0.  Составляем симплексную таблицу, соответствующую исходной задаче :

            Заметим, что этой таблице соответствует допустимое базисное решение       

                                     

задачи ( I ). Значение целевой функции на этом решении

                                     

 

            Шаг 1. Проверка на оптимальность.

            Если среди элементов симплексной таблицы

нет ни одного положительного элемента

то оптимальное решение задачи ЛП найдено :

              

Алгоритм завершает работу.

 

            Шаг 2. Проверка на неразрешимость.

            Если среди элементов симплексной таблицы

                          

есть положительный

              

а в соответствующем столбце

              

нет ни одного положительного элемента

                          

то целевая функция L является неограниченной снизу на допустимом множестве. В этом случае оптимального решения не существует. Алгоритм завершает работу.

           

            Шаг 3. Выбор ведущего столбца q.

            Среди элементов симплексной таблицы

                          

выбираем максимальный положительный элемент

                          

Этот столбец объявляем ведущим (разрешающим).

 

            Шаг 4. Выбор ведущей строки р.

            Среди положительных элементов столбца

                          

находим элемент

                         

для которого выполняется равенство :                                   

             

строку р объявляем ведущей (разрешающей).  Элемент

                          

объявляем ведущим (разрешающим).

           

            Шаг 5. Преобразование симплексной таблицы.

            Составляем новую симплексную таблицу, в которой :

 

 

            д) оставшиеся элементы симплексной таблицы

преобразуются по следующей схеме “прямоугольника”.

        Из элемента вычитается произведение трех сомножителей :

        первый сомножитель - соответствующий ( в той же строке, где и преобразуемый элемент) элемент ведущего столбца;        

        второй сомножитель - соответствующий ( в том же столбце, где и преобразуемый элемент) элемент ведущей строки; 

        третий сомножитель - обратная величина ведущего элемента

        Преобразуемый элемент и соответствующие ему три сомножителя как раз и являются вершинами“прямоугольника”.

           

            Шаг 6. Переход к следующей итерации осуществляется переходом к шагу 1.

 

6.Метод искусственного базиса .

Данный метод решения применяется при наличии в системе ограничений и условий-равенств, и условий-неравенств, и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём вводаискусственных переменных R_i со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами M, имеющими смысл "штрафов" за ввод искусственных переменных, а в задачи минимизации - с положительными M. Таким образом из исходной получается новая M-задача (поэтому метод искусственного базиса так же называют M-методом).

Если в оптимальном решении М-задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении M-задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.

Симплекс-таблица, которая составляется в процессе решения, используя метод искусственного базиса, называется расширенной. Она отличается от обычной тем, что содержит две строки для функции цели: одна – для составляющей F, а другая – для составляющей M. При составлении симплекс таблицы полагают что исходные переменные являются небазисными, а дополнительные (x_n+m) и искусственные (R_i)- базисными.

Исходная таблица для "Метода искусственного базиса" имеет следующий вид:

Элементы дополнительной строки M расчитываются как сумма соответствующих коэффициентов условий-равенств (условий в которые после приведения к каноническому виду введены переменные R_i) взятая с противоположным знаком.

7.Теория двойственности..Основное неравенство двойственности .