11.Проверка оптимальности плана транспортной задачи с помощью потенциалов.

Потенциалы – это такие числа, которые по определенным правилам назначаются каждой строке и каждому столбцу. Потенциалы строк обозначим u_i, потенциалы столбцов – v_j. Они могут принимать любые значения. Однако удобнее работать с положительными, целыми и относительно небольшими числами. Такой потенциал первоначально назначается любой строке или столбцу. Рекомендуем поступать следующим образом. Выберем базисную клетку с максимальным расстоянием. В нашей матрице это клетка А₂В₃. Присвоим строке, в которой находится эта клетка, потенциал, равный 0 (u₃ = 0). Далее можно рассчитать потенциалы столбцов по базисным клеткам строки 3 по формуле

.                                             (1)

 Потенциал первого столбца v₁ = u₂ + c₂₁ = 0 + 4 = 4;

второго: v₂ = u₂ + c₂₂ = 0 + 7 = 7;

третьего: v₃ = u₂ + c₂₃ = 0 + 13 = 13;

пятого: v₅ = u₂ + c₂₅ = 0 + 2 = 2.

Рассчитанные потенциалы записываем напротив соответствующих столбцов ниже матрицы. Поскольку по всем базисным клеткам строки 2 потенциалы столбов найдены, переходим к расчету потенциалов строк.

Потенциал строки 1 рассчитываем по найденному потенциалу столбца 3 и базисной клетке А₁В₃ по формуле

 

,                                           (2)

 

где u₁ = v₃ – c₃₁ = 13 – 8 = 5.

Для строки 3 потенциал будет равен:

u₃ =  v₅ – c₃₅ = 2 – 1 = 1.

12 вопрос: Улучшение плана транспортной задачи. Теорема об улучшении плана транспортной задачи.

Улучшение плана производится по следующей схеме. В подчеркнутых клетках таблицы(т.е. там, где построен цикл) находим клетку с наибольшей разностью u_i + v_j – c_ij, т.е. где условие (если имеем опорный план, то для каждой свободной клетки можно образовать единственный цикл, содержащий данную клетку и некоторые из занятых.) нарушается максимально.  Затем для этой клетки, согласно утверждению 2, строим единственный цикл. Набор клеток в цикле помечаем поочередно знаками «+» и «–», начиная с «+» в свободной клетке.  Начиная с клетки (1, 1), где условие (2) нарушено максимально, строим цикл. Клетку (1, 1) помечаем знаком «+». Цикл единственен, у нас все занятые клетки вошли в цикл, но это необязательно. Строим новый план хⁿ по правилу:

Теорема.

Для оптимальности плана транспортной задачи необходимо и достаточно,

чтобы он был потенциальным.

Алгоритм метода потенциалов состоит из предварительного и повторяющегося общего шага.

Предварительный план состоит из следующих операций:

составление первоначального ациклического плана перевозок;

построение для полученного плана системы m+n чисел U1 ,U2, ..., Um; V1,

V2, …, Vn таких, чтобы выполнялись условия Vj-Ui=Cij для всех базисных

клеток;

проверка построенной системы на потенциальность.

Если система нe потенциальна, т.е. план Х не оптимален, переходим к

общему шагу.

Общий шаг повторяется до тех пор, пока система не станет потенциальной.

Он состоит из следующих операций:

улучшение плана, т.е. замена плана Х новым планом X' со стоимостью

перевозок, не превышающей стоимость плана X;

построение для X' новой системы потенциалов U'i, V'j путем перестроения

старой;

проверка системы U'i, V'j на потенциальность.

Предложенный алгоритм сходится за конечное число шагов.

13 вопрос: Неединственность оптимального плана транспортной задачи. Задача о назначении.

Задача о назначениях - частный случай транспортной задачи, в которой количество пунктов производства и потребления равны, т.е транспортная таблица имеет форму квадрата, а объем потребления и производства в каждом пункте равен 1.

Данная задача решается с помощью алгоритма, носящего название "Венгерского метода", состоящего из 3 этапов: