2) Процедура изменения потока.

Если сток получил метку (k⁺,d), то потоки будут изменяться на величину d следующим образом:

- если мы находимся в вершине j с меткой (i⁺,x), то прибавляем d к f_ij и переходим в вершину i.

- если мы находимся в вершине j с меткой (i^-,x), то вычитаем d из f_ij и переходим в вершину i.

Изменение потока начинается от стока и продолжается до достижения истока. После этого все метки стираются и заново выполняется процедура помечивания вершин.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет найден максимальный поток (ни одну вершину больше нельзя пометить, но сток не помечен).

30. Динамическое программирование. Задача о “рюкзаке.

Динамическое программирование (ДП) определяет оптимальное решение n-мерной задачи путем ее декомпозиции на n этапов, каждый из которых представляет собой подзадачу относительно одной переменной. Вычислительное преимущество такого подхода состоит в том, что мы занимаемся решением одномерных оптимизационных задач подзадач вместо большой n-мерной задачи.

Фундаментальным принципом ДП, составляющим основу декомпозиции задачи на этапы, является оптимальность. Так как природа каждого этапа решения зависит от конкретной оптимизационной задачи, ДП не предлагает вычислительных алгоритмов непосредственно для каждого этапа. Вычислительные аспекты решения оптимизационных подзадач на каждом этапе проектируются и реализуются по отдельности (но это не исключает того, что может быть применен единый алгоритм для всех этапов).

Задача о ранце (рюкзаке) — одна из задач комбинаторной оптимизации. Название это получила от максимизационной задачи укладки как можно большего числа нужных вещей в рюкзак при условии, что общий объём (или вес) всех предметов, способных поместиться в рюкзак, ограничен. Подобные задачи часто возникают в экономике, прикладной математике, криптографии. В общем виде, задачу можно сформулировать так: из неограниченного множества предметов со свойствами «стоимость» и «вес», требуется отобрать некое число предметов таким образом, чтобы получить максимальную суммарную стоимость при одновременном соблюдении ограничения на суммарный вес.

31. Метод ветвей и границ

В основе метода ветвей и границ лежит идея последовательного разбиения множества допустимых решений на подмножества (стратегия “разделяй и властвуй”). На каждом шаге метода элементы разбиения подвергаются проверке для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Проверка осуществляется посредством вычисления оценки снизу для целевой функции на данном подмножестве. Если оценка снизу не меньше рекорда — наилучшего из найденных решений, то подмножество может быть отброшено. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит смена рекорда. По окончанию работы алгоритма рекорд является результатом его работы.

Если удается отбросить все элементы разбиения, то рекорд — оптимальное решение задачи. В противном случае, из неотброшенных подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и оно подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и т.д.