11. Площадь поверхности вращения (определение, теорема). Теорема Гульдена. Физические приложения определенных интегралов.

Теорема Гульдена (1): Площадь поверхности вращения кривой вокруг какой-либо оси, лежащей в плоскости кривой и не пересекающей эту кривую равна произведению длины кривой на длину окружности описываемой центром тяжести (центром масс).

Sпов.вр.= ( )·2 ·yс ; Найти координаты центра масс кривой : y= ,

x , C (xc; yc), xc=0; yc= , Sпов.вр.=Sсферы = 4

( )= R ,

yc= =

Теорема Гульдена (2): Объем тела, образованный при вращении криволинейной трапеции G вокруг оси ox= произведению площади фигуры G на длину окружности, который описывает при этом вращении центр масс фигуры G. Vox=S(G)2 yc.

Физические приложения. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой.

: y=f(x), a ≤ x ≤ b, плотность (x;y)=const

(x;y)' = 1

Статические моменты: (ox)

КX= dx , т.к. плотность (x;y) = 1, то Кy= dx

Масса кривой: = ,

Координаты центра тяжести: xc= =

12. Несобственные интегралы первого рода (определение; свойства, включая интегрирование по частям и формулу Ньютона-Лейбница.

Пусть выполнены следующие условия:

1) f(x) определена на промежутке [a,b), где в качестве b может быть число или + ;

2) n [a,b) f(x) интегрируема на . Если конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) по промежутку [a,b) и обозначается , т.е.

Если конечного предела , то говорят, что несобственный интеграл расходится. Если b=+ , то несобственный интеграл называется несобственным интегралом первого рода.

Свойства несобственных интегралов (рассматривается особенность в верхнем пределе)

1. Свойство линейности.

Теорема: если несобственный интеграл и сходятся, тогда для чисел несобственного интеграла сходится и =

Доказательство: т.к. функция f(x) и q(x) интегрируемы на отрезке [a; [a,b), то по свойству линейности интеграла Римана (определение интеграла) R = конечный lim(правой части) ⇒ lim левой части.

2. Свойство адъетивности.

Если a ≤ c b, то интегралы и равносходимы, т.е. сходятся или расходятся одновременно. В случае сходимости = + Возьмем (c,b).По свойству адъетивности . Если (т.е. сходится), то переходя к в равенстве ⇒ lim ( ⇒ (левой части) = и верно равенство: левая часть = правая часть.

3. Монотонность.

Если f(x) ≤ q(x) x [a,b) и несобственные интегралы и сходятся, то ≤ .

4. Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов.

Теорема: пусть функция f(x) непрерывна на [a,b) и F(x) первообразная для функции f(x) на [a,b), то несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда конечный предел F( =F(b-), причем = - формула Н.-Л. Для несобственных интегралов.

Доказательство: в условии теоремы отрезка [a; справедлива формула Н.-Л. . Если конечный F( =F(b-),то конечный (правой части)= F( -F(a))=F(b)-F(a) ⇒ (левой части) = =(по опред.)

5. Интегрирование по частям.

Теорема: пусть функции и (x) непрерывно дифференцированы на [a,b). Если конечный предел ( (x)= ( ), то справедлива формула интегрирования по частям в несобственном интеграле. (x)dx= (x) dx, если dx сходится. Если dx расходится, то расходится. Доказывается применением формулы интегрирования по частям к определенному интегралу к [a; и предельн. перех. При

6. Замена переменных в несобственном интеграле.

Теорема: пусть функция f(x)непрерывна на [a,b) и x= φ(t) непрерывно-дифференцированная функция на , причем φ( (t)=b. (t ) строго возрастает на [a,b): тогда справедлива формула замены переменной ⇒ dt .