6. Теорема (формула) Ньютона-Лейбница.

Теорема: Если f(x) непрерывна на [a, b], а Ф(x) какая-нибудь первообразная функции f(x) на [a; b], то справедлива формула Ньютона-Лейбница: Ф(b)-Ф(a)=Ф(x)

Доказательство: функция является первообразной для f(x). Все наборы первообразных это: Ф(x)=F(x)+C= Ф(a)= , b=ф(x), Ф(x)= +ф(a)

Если x=b, то Ф(b)= +ф(a), то Ф(b)-Ф(a)=Ф(x) – формула Н-Л.

Пример: = (x- ) =

7. Теорема о замене переменной в определенном интеграле, формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

Теорема: Пусть выполняется следующие условия:

а) Функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a, b].

б) Сегмент [a, b] является множеством значений некоторой функции x=g(t), которая определена и имеет непрерывную производную на сегменте [α, b].

в) g(α)=a, g(β)=b; Тогда справедлива следующая формула замены переменной в определенном интеграле: .

Доказательство: т.к. f(x) непрерывна на [a, b], то справедлива формула Ньютона-Лейбница:

F(b)-F(a), где F(x) некоторая первообразная функции f(x) на [α, b]. Тогда по теореме о замене переменной в неопределенном интеграле функция F( (t)) является первообразной для функции F'( (t)) (t)=f( – непрерывна на [ , ].

По формуле Ньютона-Лейбница: ( (t)) =F(

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Теорема: Пусть функции u(x) и (x) определены и имеют производные на сегменте [a, b]. Тогда справедлива следующая формула интегрирования по частям:

Доказательство: функция u(x)· (x) является первообразной для функции u`(x)· (x)+ u(x)· (x)= (u(x)· (x))`, тогда по формуле Ньютона-Лейбница: - по свойству линейности интегралов.

,

8. Площадь фигуры на плоскости (клеточные фигуры, квадрируемые фигуры, мера). Площадь криволинейной трапеции, криволинейного сектора, площадь фигуры с параметрически заданной границей.

Для функции f(x) 0 на [a, b] площадь криволинейной трапеции равна: Если f(x) 0 на [a, b], то перед интегралом знак минус. Криволинейный сектор – это плоская фигура, ограниченная лучами φ=φ₁, φ=φ₂, кривой ρ=ρ(φ), заданной в полярной СК. .

Параметрически: , 0≤ t ≤T, (

Условия на прямую, черта граница область Д

1. Кривая называется гладкой, если , непрерывно-дифференцируемы ,

2. Кривая называется кусочно гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких прямых.

3. Кривая называется простой (без самопересечений), если t1, t2 (0; t):

4. Кривая Г называется замкнутой, если

5.Говорят, что граница Г области Д обходится в положительном направлении, если при изменении параметраТ (0;Т), граница проходится так, что Д находится слева.

Теорема: Пусть Г – граница Д удовлетворяет условию 1и4, тогда Д – квадратично измерима и справедливы три формулы для вычисления m(Д)=S(Д) (равноправные):

S(Д)= ,S(Д)= , S(Д)= .