4. Теоремы о среднем.

Теорема 1 : Пусть выполнены следующие условия:

1.f(x) непрерывна на [a, b].

2.g(x) интегрируема на [a, b] и сохраняет знак.

Либо g(x)≥0 для любого x [a, b], либо g(x) 0 x [a, b]. Тогда [a, b] такая, что =f( ) .

Доказательство: 1)т.к. f(x) непрерывна на [a, b], то она интегрируема на нем. 2)f, g - интегрируемы на [a, b], то f(x) g(x) интегрируемы на [a, b], т.е. По свойству 4 (свойства интеграла), примененному f и g, получим неравенство: (g(x)≥0), m ≤ ≤M (**), где m=inf f(x) на [a, b], а М=sup f(x)на [a, b].

1.если , то из (**) =0 ⇒ равенство из Т1 справедливо для [a, b], = f( ) - обе стороны равна 0.

2.если , то разделим (**) на m≤ ≤M , =с, по теореме о промежуточных значениях непр. функции с [m,M] [a, b]; f( )=c.

Теорема 2: Формула Бонне. Пусть выполняются следующие условия:

1. Если f(x) интегрируема на [a, b].

2. g(x) монотонна на [a, b].

Тогда [a, b] такая, что g(a) +g(b) .

Следствие: (1 теорема о среднем). Если f(x) непрерывна на [a, b], то [a, b] такая, что f( )

Определение: Если f(x) интегрируема на [a, b], то число = · называется средним значением функции f(x) на [a, b].

Замечание: если f(x) непрерывна на [a, b], то по следствию f( )= . Если f не является непрерывной, то точка не обязательно

5. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему пределу.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Пусть функция f(x) интегрируема на сегменте, содержащемся в интервале (a, b). Выберем произвольную точку c (a, b) и точку x (a, b). Тогда имеет смысл функция: . Определение: Функция называется определенным интегралом с переменным верхним пределом.

Непрерывность

Теорема 1: Любая непрерывная на (a, b) функция f(x) имеет первообразную на этом интервале, одной из которых является функция , где x (a, b).

Доказательство: Докажем, что функция дифференцируема. По определению = (пояснения: , где ξ (x, x+∆x).)= . Т.о. функция является первообразной для f(x).

Дифференцируемость

Теорема 2: : Если f(x) интегрируема на [a, b] и непрерывна в точке X0 [a, b], то F(x)= дифференцируема в точке X0 и ( = f(x0), т.е. F'(x0)= f(x0).

Замечание: если (x0) совпадает с концом отрезка, то это односторонняя производная F'(a)= f(a)-правая производная (и наоборот).

Существование первообразной у непрерывной на отрезке функции

Теорема 3: Если f(x) непрерывна на [a, b], то она имеет первообразную F(x)= на [a, b] и совокупность всех первообразных (неопред. интеграл) записывается в виде: = +с, где с – произвольная постоянная.

Доказательство: т.к. f(x) непрерывна на [a, b], то по Т2 F(x)= – дифференцируема на [a, b] и F'(x)= f(x)b [a, b], ⇒ F(x) по определению первообразной является первообразной для f(x) на [a, b].

По определению совокупность первообразной (или неопред. интеграл) имеет вид указанный в Т3.

Вывод: операция интегрирования непрерывных функций с переменным верхним пределом яв-ся обратной к операции дифференц-я. Если f(x) непрерывна на [a, b], то ( = f(x) [a, b].

Замечание: Аналогично можно рассмотреть предел с переменным нижним пределом G(x)= , справедливы аналогичные теоремы.