45. Лемма Римана, ядро Дирихле, формула Дирихле для частичных сумм. Признак Дини сходимости ряда Фурье.
Лемма
Римана: Если
f(x)
абсолютно
интегрирована на [ a,
b
],
то
0,
0.
Следствие: коэффициенты ряда находятся по формулам: (*)
Если
f(x)
абсолютно
интегрирована на [ -l,
l
],
то коэффициенты Фурье по (*)
,
удовлетворяют следующим условиям:
;
;
=0.
Ядро Дирихле
Пусть функция f(x) абсолютно интегрирована на[ -l, l ], Т=2l – периодична.
Построим
n-ую
частичную сумму
(x)
ряда Фурье функции f(x)
на[ -l,
l
]
по тригонометрической системе функций:
(x)=
=
(коэффициенты
заменим по (*)
)=
·
+
=
(
+
+
=
(
+
(x-t))
⇒
Ядро Дирихле:
=
+
⇒
(x)=
(
.
Свойства ядра Дирихле
= +
1) непрерывна, 2 - периодическая четная функция.
2)
=
+n.
3)
=
.
4)
x
2k
справедлива
формула:
=
.
Доказательство:
=
+
;
=
+
+
+…+
=
+
-
+
-
+
(n+
)x
-
(n
-
)x.
5)
(x)=
Признак
Дини: Пусть
функция f(x)
абсолютно
интегрирована на отрезке [-
,
2
– периодическая. Если
- точка непрерывности f(x)
или
точка разрыва 1-го рода, тогда
dt
конечен,
для
> 0, где
=
f
(
+t)+
f
(
-t)-
f
(
+
)- f
(
-
), тогда
ряд Фурье в точке
сходится и его сумма равна S
=
в
точке разрыва 1-го рода и S
=
f
(
в
точке непр. f(x).
Следствие:
Если
f(x)
абсолютно
интегрирована на отрезке [-
,
2
– периодическая и в точке x
конечные
пределы справа и слева
и
,
то ряд Фурье функции f(x)
по
тригонометрической системе в точке x
сходится
и его сумма S(x)=
Замечание:
S'(x+
)=
.
46. Признак Дирихле сходимости ряда Фурье. Простейшие условия равномерной сходимости ряда Фурье. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда Фурье.
Если функция f(x) 2 - периодическая и кусочно-монотонная на [- и кусочно-непрерывная на
[- , (т.е. имеет конечное число точек разрыва 1-го рода, в остальных непрерывна), то ряд Фурье сходится к f(x) в точке непрерывности и к в точке разрыва 1-го рода.
Замечание: признаки Дини и Дирихле не сравнимы между собой (т.е. не вытекает один из другого).
Разложение функции в ряд Фурье
Если f(x) задана на [ -l, l ] и удовлетворяет условиям одного из признака, то продолжив ее периодически с периодом 2l на всю ось ox в точках непрерывности функции она разлагается в ряд Фурье в точке x= l, ряд Фурье сходится S( l)= .
Простейшие условия
Теорема:
1)f
непрерывна
на [-
.
2)имеет непрерывность или кусочно-непрерывную
производную
во всех точках кроме конечного числа
точек. 3)f
(-
=f
(
,
тригонометрический
ряд Фурье по f(x)
2
на [-
сходится к f(x)
равномерно на этом отрезке.
Почленное дифференцирование и интегрирование
Теорема1:
Условия:
1)
f(x)
и
ее производная
до m-го
порядка включительно непрерывная на
[-
.
2)
=
,
j=0,
1…m.
3)
кусочно-непрерывная
на [-
.
Тогда тригонометрический ряд Фурье
для f(x)
на [-
можно m
раз
почленно дифференцировать на [-
,
т.е. ряд Фурье для
получаем почленно дифференцированные
ряды функции f(x)
к
ряду (k=1,
2…m).
Теорема 2: Пусть f(x) непрерывна на [- ; f '(x) кусочно-непрерывна на [- ; f (- =f ( , тогда ряд Фурье для f(x) на [- можно почленно интегрировать и x [- справедливо равенство.