43. Ряд Тейлора. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Ряды Маклорена для элементарных функций.
f(x) x R; f(x) R
Определение: пусть f(x) определена в окрестности точки и имеет в этой окрестности производные всех порядков.
Тогда
степенной ряд вида
=
+
+
+
… +
+
… называется рядом Тейлора для функции
f(x)
в точке
.
При =0 ряд Тейлора называется рядом Маклорена.
Если
f(x)
аналитично
в точке
,
т.е. представимо в некоторой окрестности
точки
сходящимся к ней степенным рядом, т.е.
f(x)=
k={
x
<p,
p>0
}; то
по предыдущему утверждению
=
.
f(x)=
,
x
⇒
Утверждение: Степенной ряд в круге сходимости (интервале) сходимости является рядом Тейлора своей суммы.
Замечание:
Если
функция имеет производные всех порядков
некоторой окрестности
точки
это не означает, что ряд Тейлора сходится
в функции f(x)=
(проверить
вокруг точки 0).
(0)
=0 ряд Тейлора
0, f(x)
0.
Вспомним разложение функции f(x) по формуле Тейлора в точке
f(x)=
+
- остаточный
член.
Утверждение:
функция
f(x)
представлена
рядом Тейлора с д. в точке
,
т.е. f(x)=
,
т.е.
f(x)=S(x)
=
,
x)=
=
=0.
Теорема
(достаточное условие разложимости
функции в ряд Тейлора): Если
f(x)-
бесконечно
дифф. и все ее производные ограничены
в совокупности в некоторой
окрестности
точки
:
C
≤ C,
n=1,
2 … и
x
,
то
ряд Тейлора, построенный для f(x)
в
точке
сходится в этой окрестности к f(x),
т.е.
f(x)
представима
рядом Тейлора. f(x)=
.
Доказательство:
напишем
формулу Тейлора f(x)=
+
,
напишем
в форме Лагранжа:
=
,
,
где
все производные ограничены
≤
.
=0,
т.к.
=0.
Тогда по утверждению ряд Тейлора сходится
к f(x)в
.
Замечание:
=0.
,
=
,
=
=
=
=0<
⇒
схема
по Даламберу, по необходимости призн.
=
0.
Ряды Маклорена для 5 известных функций
,
x
(-
,
x
(-
,
x
(-
,
x
(-
,
x
(-
44. Ортогональная система функций. Ряды Фурье. Тригонометрический ряд Фурье, формулы для коэффициентов. (Ряды Фурье для четных и нечетных функций).
Пусть
дана система функций на [ a,
b
];
{
(x)
}- непрерывна,
называется ортогональной на [
a,
b
],
если
(x)dx=0,
k,
n;
k
n.
Система
функций называется ортонормированная,
если она ортогональна и
(x)dx=1;
n.
Утверждение:
Система
функций {
,
,
,
… ,
,
}
является ортогональной системой
(тригонометрической) на [ -l;
l
].
Доказательство:
dx=
·2
dx=
ǀ
=0.
dx=0
и
т.д.
Частный
случай: l=
⇒
ортогональная
тригонометрическая система {
,
,
n=1,
2 …}
на
[-
].
Ряды Фурье по ортогональной тригонометрической системе
Пусть
f(x)
абсолютно
интегрируема на [ -l;
l
],
т.е.
dx
<
.
Определение: говорят, что f(x) абсолютно интегрируема на [ -l; l ] разложена на этом отрезке, сходящийся тригонометрический ряд, если такие последовательности числовые { }, n=0, 1 …; и
{
} n=1,
2 …; что
тригонометрический ряд
+
+
(*)
сходится и его сумма = f(x),
т.е.
f(x)=
+
+
для
x
[
-l;
l
].
Теорема:
Если
ряд (*) сходится к функции f(x)
равномерно
на [ -l;
l
],
т.е.
f(x),
то
коэффициенты ряда находятся по формулам:
(**)
Доказательство:
функция
{
,
,
ортогональные
тригонометрические системы функций на
[ -l;
l
],
непрерывны и ограничены. Пусть ряд (*)
сходится равномерно на [ -l;
l
],
т.к. ряд состоит из непрерывных функций
⇒
сумма ряда = f(x)
непрерывна
на [ -l;
l
],
т.е. интегрируемая функция.
Умножим
обе части на x
:
f(x)
=
+
+
-
сходится равномерно ⇒
почленно интегрируем
+
dx+
dx
0.
dx.
.
=
.
Определение: ряд (*) с коэффициентами { , n=0, 1…} и { , n=0, 1…} вычисляемый по формулам (**) называется рядом Фурье, построенным по функции f(x) и ортогональной тригонометрической системе { , , , n=1, 2…}на [ -l; l ].
Замечание: Если функция f абсолютно интегрирована на [ -l; l ], то коэффициенты , - конечны.
Следствие:
всякий
равномерно сходящийся тригонометрический
ряд по указанной системе функций является
рядом Фурье своей суммы. Если f(x)
абсолютно
интегрирована, то по (**)
,
находятся, и можно построить
тригонометрический ряд (*): f(x)
Частный случай разложения функций в ряд Фурье
1.Если
f(x)
четная,
то разложение в ряд Фурье имеет вид
f(x)=
+
.
;
,
n=1,
2…, т.к.
=0;
n.
dx=
.
2.
Если f(x)
нечетная,
то ряд Фурье имеет вид: f(x)=
,
где
3.Если f(x) задана на отрезке [0; l] ее можно продолжить на отрезок [ -l; 0 ] четным или нечетным образом (для нечетного продолжения при f(0) точку 0 исключают) и раскладывают функцию в ряд Фурье на [ -l; l ] по косинусам или синусам соответственно.