31. Числовые ряды (понятие ряда, сходимость, частичная сумма, сумма). Необходимый признак сходимости ряда. Свойства сходящихся рядов. Критерий Коши.
Определение:
Пусть
{
} –числовая последовательность,
=f(K),
k=1.
Выражение
вида
+…+
называется числовым рядом, записывается
.
Числа
называются членами ряда. Сумма первых
n-членов
ряда называется частичной суммой ряда
(n-ой
частичной суммой), обозначается
=
+…+
.
Определение:
ряд
называется сходящимся, если
конечный предел его частичных сумм,
т.е.
конечный
=
,
(т.е. последовательность {
} сходится, ее предел =
).
Если
ряд сходится (т.е.
конечный
,
то говорят, что его сумма =
и пишут
=
.
Если конечный предел { } , то говорят, что ряд расходится или является расходящимся.
Определение:
Если
из ряда отбросить первые n
слагаемых,
т.е. получим ряд
+…+
+…,
то этот ряд называют остатком ряда
,
обозначают
=
.
Необходимое условие сходимости ряда.
Теорема:
Если
ряд
сходится,
=0.
Доказательство: пусть ряд сходится, т.е. конечный = .
-
S-S=0
(
→
S,
→
S,
).
Следствие:
если
(
не стремится к 0,
,
либо
,
то
-
расходится.
Доказательство: пусть не стремится к 0, предположим противное: сходится ⇒ по теореме .
Замечание: условие является необходимым, но недостаточным для сходимости ряда.
Критерий Коши сходимости числового ряда.
Теорема
(критерий Коши): для
того, чтобы числовой ряд:
сходился необходимо и достаточно, чтобы
для
>0
N=N(
,
что
для
n
>N
и
p=1,2…
выполнялось
неравенство:
<
.
Доказательство:
ряд
сходится, если
=
S,
тогда
по критерию
Коши
>0
N=N(
,
n
>N
и
p=1,2…
выполняется
неравенство:
<
,
(
= {
}),
(последовательность {
} фундаментальная <=>
=
S).
Некоторые свойства сходящихся рядов.
Утверждение
1: Если
ряды
и
сходятся,
то ряды
сходятся и их суммы равны сумме (разности)
рядов
и
Утверждение
2: Если
сходится,
то ряд
сходится для
числа α
и его сумма равна α·S,
где
S=
.
Утверждение 3: отбрасывание или приписывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость ряда, т.е. остаток ряда сходится тогда, когда сходится исходный ряд. (Доказательство критерий Коши).
32. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости: через частичные суммы, интегральный признак.
, ≥ 0, n –ряды с неотрицательными членами.
Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами через частичные суммы
Теорема: для того, чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
сходится <=> C : ≤ C , n.( ≥0)
Доказательство:
ряд
сходится <=>
=
,
ряд
с неотрицательными членами
(
≥
<=>
{
}
ограничена.
Интегральный признак Коши
Теорема:
Пусть
есть ряд из
,
≥
0,
=f(n).
Рассмотрим
функцию f(x)
на
промежутке [ 1;
и f(x)
непрерывна,
неотрицательна и монотонно убывает на
[ 1;
,
тогда
,
f(n)
и
сходится или расходится одновременно.
Доказательство: рассмотрим отрезок [k, k+1], (k=1, 2 …), т.к. f(x) убывает, то на из отрезков f(k)≥ f(x)≥ f(k+1),x [k, k+1], т.к. f непрерывна, то она интегр. на [k, k+1].
Берем
всех неравенств.
≤
(x)
≤
.
Просуммируем
≤
≤
,
≤
≤
.
1)Если ряд сходится ⇒ по теореме1 { } ограничена.
C
:
≤ C
⇒
≤ C
,
n⇒{
}
ограничена
⇒
F(η]
=
⇒
сходится.
2)Если
сходится
⇒
{ F(η]
}
ограничена
(F(η]≤
C
:
n.
f(x)
≥0⇒
≤
≤
C
+
.