24. Дифференциалы высших порядков (определение, формы записи, неинвариантность 2-го и высших дифференциалов.
Пусть
z=f
(
),
тогда
dz=
,
dx+
dy.
Определение:
второй
диффер. функции
(или дифф. 2-го порядка) – это дифференциал
от 1-го дифференциала: df
:
= d(df)
вычисленный
при условии: 1) df
рассм. как функция независимых переменных
x
и
y
(т.е.
dx
и dy=const).
2) при вычислении дифференциала от
функций
и
приращения dx
и dy
берутся
такими же как при вычислении df.
=
d(df)=d(
dx+
dy)=dx
d(
)+
dy ·d(
=dx(
(
dx+
)(
dy(
(
dx+
(
dy=(*),
если вторые смешанные производные непрерывны, то = (теорема Шварца)
=
(*)
+2
+
.
Аналогично определению дифференциала 2-го порядка для функции n-переменных.
f(x)=f(
…
,
= d (
,
= d (
Пусть f – функция 2-ух переменных z=f ( );
=
+3
+3
dx
+
.
u=
f
(
);
=?
=
+
+
+2
dxdy+2
dxdz+2
dxdz.
Определение:
символ
, z=
f
(
называется оператором дифференциала
по переменной
.
Утверждение: Дифференциал функции n- переменных k-го порядка, при k≥2 не обладает свойством инвариантности (т.е. его вид в общем случае меняется если не являются независимыми переменными).
df=
dx
, имеет
один и тот же вид в обоих случаях:
1)
- независимая переменная. 2)
=
(
, k=2
,
=
функции
=d(
)=
d
(
d
+
d(d
-
добавок.
Добавок=0,
если
- линейная функция
=0.
25. Формула Тейлора для функции многих переменных.
Теорема:
Если
функция n-переменных
f(x)=f(
…..
)
имеет в некоторой окрестности точки
(
…..
)
и все частные производные до (k+1)-го
порядка включительно, и они непрерывны
в самой точке
то в любой точке этой окрестности
справедливо равенство: (Формула Тейлора)
f(x)=f(
+
+
+
,
+
)
–многочлен
Тейлора k-го
порядка для функции f
в
точке
остаточный
член.
f(x)=
+
.
=
,
остаточный член формулы Тейлора в форме
Лагранжа.
Замечание: многочлен Тейлора обладает свойством, что его значения и значения всех его частных производных до k-го порядка включительно в точке совпадает со значением функции f и ее соответствующих производных в этой точке.
Следствие 1: При k=0 из формулы Тейлора получится формула конечных приращений Лагранжа.
Следствие
2: В
условиях теоремы остаточный член
можно записать в виде:
=0
(
,
где
– расстояние
между точками
и x,
т.е.
=
.
Формула Тейлора вида: f(x)=
+0
(
называют формулой Тейлора с остаточным
членом в форме Пеано.
26. Теорема о неявной функции.
Теорема (о системе функций заданных неявно): Пусть задана система функций:
(1)
Решение
такой системы (1) относительно переменных
;
=
(
,
i=1,
(2).
Называется совокупностью неявно заданных
функций опред. системой (1), т.е.
,
(
,
…
(
)=0
в
(или Д
⊂
).
x=
, y=
F(x, y)=0, F=
.
Теорема:
Пусть
выполняются следующие условия: 1)
i
(x,
y),
x
,
y
,
i=1,
непр.
дифф. в некоторой окрест. точки
.
2)
i
=0,
i=1,
.
3)
Якобиан
=
0.
П=
(x,
y)
:
≤
,
≤
, j=1
, i=1
, в
котором система уравнений (1) определяется
единственной совокупностью неявных
(2). Причем функции
(x)
дифф. и производные их могут быть найдены
дифф. системы уравнений (1).