21. Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы 1-го дифференциала. Правила дифференцирования.

Теорема: Пусть дифференцируема в точке = Д ⊂ ; …. . Пусть f ( … ) дифференцируема в точке , тогда сложная функция Ф(x)=f( дифференцируема в точке и ее частные производные в этой точке находятся по формулам: ( = и Ф )= +0( .

Теорема: Форма записи 1-го дифференциала не зависит от того, являются ли независимыми переменными или функциями от других переменных =( , … ).

Утверждение: правила нахождения дифференциала, что и для функции одной переменной: d(u v); d(d,v), d( ).

22. Геометрический смысл 1-го дифференциала. Касательные плоскость и нормаль. Производная по направлению. Градиент.

Касательная плоскости и нормаль

Определение: Графиком функции y=f ; x= называется геометрическое место точек = { : y=f( }.

Рассмотрим плоскость в пространстве . Р: y=f + ( - ) (*)

f- считаем дифференциал в некоторой окрестности точки , = . Ясно, что график функции и плоскость имеют общую точку , f ).

= f(x)-y = 0( для дифференциала функции 0. Если f дифференциал в точке , то f(x)= + ( - )+ 0( .

Определение: плоскость называется касательной к графику функции y = f в точке , если она имеет одну общую точку , f ). Р задан (*) имеет одну общую точку. Уравнение (*) – уравнение касательной плоскости к y = f в точке , f ).

Определение: нормальным вектором называется вектор касательной плоскости в точке касания.

Нормаль – это прямая, проходящая через точку касания и касательной плоскости.

= { ); ) … ); -1 } . Рассмотрим случай, когда z=f (x; y). S : z=f (x; y), (x; y) = xoy ( или Д xoy ). Пусть функция z=f (x; y) дифференцируема в точке ( ), тогда уравнение касательной плоскости Р : z=f ( )+ ( )( x - + ( )( y-

= { ); ), 1 } – образует острый угол с oz.

- = { ); ), -1 } – образует тупой угол с oz.

Уравнение нормали: = = , = f ( ).

Градиент функции и производная по направлению

Пусть есть = { } и задана функция y=f дифференцируема в точке , производная по направлению в точке (обозначаем или ( называется , когда по направлению ( или по прямой, проходящей через в направлении ).

Утверждение: если функция f дифференцируема в точке то производная по направлению в точке и равна: ( = , где { ), ) ,… }.

Определение: Градиентом функции f в точке называется вектор (обозначается или ) такой, что = { ), ) ,… }.

( = ( = , если .

23. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

Определение: Пусть f определена в Д ⊂ имеет частную производную по переменной в точке области Д (т.е. , x Д).

Частная производная функции по переменной называется 2-ой производной функции f по переменным обозначаем или . Т.е. если =

, то = .

Если , то называют смешанной производной.

Если , то = читается: дэ два по дэ дважды.

Определение: частная производная 3-го порядка определяется, как частные производные от производных 2-го порядка. Частные производные m-го порядка по переменным Определяются = ( ).

Определение: Функция f называется дифференцируема m раз в точке если все ее частные производные ( порядка определены в окрестности точки и дифференцируемы в самой точке .

Теорема Шварца: Пусть z=f ( задана в некоторой окрестности ( ) и имеет непр. частное смешанных производных 2-го порядка в этой точке (т.е. и непр. в точке то они равны.

z=f ( , и определ. в окрестностях точки ( ) и непр. в точке ( ), то

(*).

Если равенство (*) выполняется, то говорят, что смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования.

Теорема: Если все смешанные производные m-го порядка для функции n-переменных f(x)=f существуют в некоторой окрестности точки = и непрерывны в этой точке, то они не зависят в точке от порядка дифференцирования, а зависят лишь от числа дифферен. по каждой переменной.