20. Частные производные, дифференцируемость, дифференциал. Теоремы о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости функции многих переменных.

Определение: Пусть f(x) определена в некоторой области Д ⊂ ; Д, f в точке ( приращение функции по ой координате). f = f - f

, ( фиксированный).

Определение: Частной производной функции n- переменных по аргументу в точке называется если он существует.

Обозначается: ( или ( . Т.е. частная производная есть обычная производная функции f , рассматриваемой как функция одной переменной при фиксированных остальных .

Т.к. при вычислении частных производных все переменные кроме одной фиксированные, то вся техника вычисления производной та же, что и для функции одной переменной.

Физический смысл частной производной ( - скорость роста функции в точке в направлении

Дифференцируемость функций n- переменных

Определение: Пусть функция f определена в некоторой области Д ⊂ , x Д, x+ = Д.

Полным приращением функции (просто приращением) в точке x называется f = f(x+ - f(x). Тогда f называют диффер. в точке x, если такие постоянные Ai=Ai(x) и не зависит от , что f= +0(ς), где ς= и 0(ς)- б.м. более высокого порядка по сравнению с ς: 0(ς)= · ς, б.м. при ς→ 0,

Определение: Если f(x) дифференцируема в точке , то - главная линейная часть приращения функции.

1) Теорема: Если f(x) дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Доказательство: = ( +0(ς))=0, (Ai →0 и 0(ς)→0)⇒ f непрерывна.

2) Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции): Если f(x) дифференцируема в точке x, то она имеет в этой точке все частные производные, (т.е. ( , i=1, ) и при этом Ai= ( , и +0( Доказательство: докажем для случая 1 перемен. i=1, ( и ( = Ai.

Теорема: Пусть дифференцируема в точке , т.е . Рассмотрим приращение аргумента по f-ой переменной, т.е. , 0,…0). = - +0+0( ς= = =| | . Разделим (

= = = + → По определению частной производной ( и ( = Аналогично для остальных координат.

3)Теорема (достаточное условие интегрируемости функции n- переменных): : Если f(x) имеет все частные производные в окрестностях точки и они непр. в точке , то функция f(x) дифференцируема в точке . Доказательство (для функции двух переменных): n=2; z=f(x, y). Утверждение 2: и в некоторых окрестностях (x, y) и непр. в (x, y)⇒ f(x, y) дифференцируема в точке (x, y). Рассматривая полное приращение применяем формулу конечного приращения Лагранжа к каждой точке получаем: | |= ≤1.

Дифференциал

Определение: Если f(x) дифференцируема в точке , то главная линейная часть приращения в точке называется дифференциалом функции в этой точке.

Обозначение: df.

Функция f называется дифф., если она дифф. в любой точке области. Если фиксированна, то df ( является функцией n- переменных ( , ,… ). Если точка меняется, то df получается функцией 2n-переменных: , ,… .