7. Угол между n-мерными векторами. Условие ортогональности вектора.

Углом j между ненулевыми n-мерными векторами   и   называют угол (от 0 до p), косинус которого равен 

 

Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. вектора должны быть перпендикулярны по отношению друг к другу. Система векторов называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны. 

8. Матрицы. Действия с матрицами и их свойства.

Матрицы – прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. (матрица размерностью m x n)

а_ij – общее обозначение, где i – строка, j – столбец.

2 матрицы являются равными, если число строк и столбцов и равны элементы, стоящие на соответствующих местах.

Нулевая матрица : все элемента равны 0.

Квадратная матрица : число строк равно числу столбцов.

Совокупность элементов квадратной матрицы при (i=j) называется главной диагональю матрицы.

Диагональная матрица: кроме диагональных переменных, все остальные равны 0.

Действия с матрицами:

Суммой матриц А и В называется такая матрица С, все элементы которой определяются по формуле: С = А + В

Чтобы умножить матрицу А на вещественное число k, нужно умножить каждый элемент.

Свойства действий:

1. А+В=В+А

2. (А+В)+С=А+(В+С)

3. K(A+B)=KA+KB

4. (K₁+K₂)A=K₁A+K₂A

5. (K₁K₂)A=K₁(K₂A)

9. Умножение матрицы на вектор. По определению произведения матриц умножение возможно только в том случае, если количество столбцов первого множителя равно количеству строк второго. Следовательно, вектор-строку удастся умножить только на матрицу, в которой столько же строк, сколько элементов в вектор-строке.

если A и B — матрицы, то A*B ≠ B*A. Более того, существование произведения A*B вовсе не гарантирует существования произведения B*A. Например, если матрица A имеет размеры 3*4, а матрица B — 4*5, то произведение A*B — матрица размером 3*5, а B*A не определено.

Пусть задан: вектор-строка A = [a1, a2, a3 … an] и матрица B размерности n*m, элементы которой равны: [b11, b12, b13, … b1m; b21, b22, b23, … b2m; … bn1, bn2, bn3, … bnm].

Тогда произведение A*B будет вектор-строкой размерности 1*m, причем каждый элемент ее равен:

Cj = ∑ai*bij (i = 1 … n, j = 1 … m).

Иными словами, для нахождения i-того элемента произведения нужно умножить каждый элемент вектора-строки на соответствующий ему по порядку элемент i-того столбца матрицы и просуммировать эти произведения.

Если A — вектор-строка размерности 1*n, а B — вектор-столбец размерности n*1, то произведение A*B является числом, равным сумме произведений соответствующих элементов этих векторов:

c = ∑ai*bi (i = 1 … n).

Это число называется скалярным, или внутренним, произведением.

Результат умножения B*A в этом случае является квадратной матрицей размерности n*n. Ее элементы равняются:

Cij = ai*bj (i = 1 … n, j = 1 … n).

Такая матрица называется внешним произведением векторов

10. Умножение матрицы на матрицу. Умножать друг на друга можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов совпадает с числом столбцов второго сомножителя.( строки первой матрицы х столбцы второй матрицы).

11. Система n-мерных векторов. Разложение вектора по системе векторов. а. N-мерным вектором называется последовательность чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.

Конечное множество n-мерных векторов A₁₁,A₂₂,..,A_N называется системой n-мерных векторов.

Нормированный вектор – длина 1.

Единичный вектор – одна координата 1 , все остальные 0.

Система единичных векторов называется диагональной системой векторов.

Система n-мерных векторов , содержащая в качестве части диагональную систему векторов называется разрешенной.

б. Разложение вектора по системе векторов.

Вектор k₁A₁ + k₂A₂ +…+ k_nA_n называется линейной комбинацией векторов A₁,A₂,,…,A_N с коэффициентами k₁,k₂,…,k_n.

Вектор В линейно выражается через через векторы A₁,A₂,…,A_n, если

B=k₁A₁+k₂A₂+…+k_nA_n

В этом случае говорят , так же , что В разлагается по векторам A₁,A₂,,…,A_n. Каждый n-мерный вектор В=(b₁,b₂,…,b_n) разлагается по диагональной системе

E₁=(1,0,…,0)

E₂=(0,1,…,0)

………………….

E_N=(0,0,…,1)

Коэффициентами , которые равны координатам вектора В:

B=b₁E₁+b₂E₂+…+b_nE_n