20(37) Самокорректирующиеся коды. Коды Хэмминга. Алгоритм построения кода Хэмминга

Пусть дан алфавит сообщений из 0 и 1, A={0,1}. Множество A содержит 2 символа

{ȃ₁,ȃ₂…ȃ_s} - сножество всех слов вида ȃ=a₁a₂…a_m в алфавите A имеющих фиксированную длину n. Таких слов 2^m=S

Предположим, что в канале связи по которому передаются слова (сообщения) действует источник помех который может вызвать ошибки не более чем в p символов одного слова. Это значит что двоичная последовательность полученная на выходе канала связи отличается от двоичной последовательности потупившей на вход этого канала не более чем в p позициях. Если передавать исходное сообщение a₁a₂…a_m без предварительного кодирования, то на выходе канала связи невозможно будет установить какое сообщение фактически было передано. В связи с эти возникает вопрос: нельзя ли осуществить кодирование слов ȃ из множество {ȃ₁,ȃ₂…ȃ_s}, т.е. слов вида a₁a₂…a_m словами b₁b₂…b_n длины n так чтобы коду слова b₁’b₂’…b_n’ полученному на выходе при передаче слова b₁b₂…b_n можно было однозначно восстановить этот код и значит исходное сообщение a₁a₂…a_m

Опр Код обладающий данным свойством называется самокорректирующимися кодами относительно рассматриваемого источника помех или кодами исправляющими p ошибок.

Рассмотрим кода исправляющие 1 ошибку т.е. p=1, которые называются кодами Хэмминга. Пусть в канале связи при передаче сообщения может произойти не более 1 ошибки. Это означает что если исходное сообщение a₁a₂…a_m кодируется b₁b₂…b_l:(b=m+k), то на выходе возможны следующие варианты кодов:

b₁b₂…b_l

┐b₁b₂…b_l

b₁┐b₂…b_l

…

b₁b₂…┐b_l

Т.о число вариантов равно l+1. Т.к. ошибка может не произойти либо она в одном из разрядов (компоненте) и символ b_i заменится на противоположный ┐b_i

Число дополнительных разрядов для построенных кодов Хэмминга нужно выбрать так чтобы их хватило для кодирования перечисленных l+1 случаев => необходимо чтобы 2^k>=l+1. Т.к. l=m+k => k=l-m

2^l-m>=l+1

2^l/2^m>=l+1=>2m<=2^l/(l+1)

Поэтому зная l выбираем как наименьшее целое удовлетворяющее условию 2m<=2l/(l+1)

Опр Число l называется длиной кода Хэмминга, число m - число информационных символов

Зам Учитывая что l=m+k можно выбирать не l а число k, которое называется числом контрольных символов и является наименьшим целым числом удовлетворяющий условиям 2^k>=k+m+1

2^m<=2^m+k/(m+k+2)

2^m/2^m+k<=1/(m+k+1)

2^-k<=1/(m+k+1)

2^k>=m+k+1

Алгоритм построения кода Хэмминга

При построении кодов Хэмминга первое что нужно сделать это по числу m определить число k и l. Пусть для сообщения ȃ=a₁a₂…a_m длины m необходимо построить код Хэмминга.

m=9, ȃ=101110111= a₁a₂…a_m, l=13, k=4, ƀ=b₁b₂b₃…b₁₃

1) Представим каждое число i L={1,2…l} в виде k-разрядного двоичного числа ῖ =V_k-1V_k-2…V₁V₀. Результаты запишем в таблицу

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
V0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
V1	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0
V2	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1
V3	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1

2) Разобьем множество L на k подмножеств следующим образом:

L₀={i L|V₀=1}

L₀={1,3,5,7,9,11,13}

L₁={i L|V₁=1}

L₁={2,3,6,7,10,11}

L₂={i L|V₂=1}

(37)L₂={4,5,6,7,12,13}

L₃={i L|V₃=1}

L₃={8,9,10,11,12,13}

3) Определим номера контрольных и информационных разрядов.

Первые элементы (их ровно k) этих множеств L_i есть степени числа 2. Они определяют номера контрольных разрядов кода Хэмминга. Остальные элементы множества L определяют номера информационных разрядов.

=> в коде Хэмминга разряды b₁,b₂,b₄,b₈ – контрольные.

Остальные b₂,b₅,b₆,b₇,b₉,b₁₀,b₁₁,b₁₂,b₁₃ – информационные

4) Формирование значений информационных символов.

Информационные символы коды Хэмминга формируются естественным образом из символов исходного сообщения a₁a₂…a_m

А именно

a₁=b₃=1

a₂=b₅=0

a₃=b₆=1

a₄=b₇=1

a₅=b₉=1

a₆=b₁₀=0

a₇=b₁₁=1

a₈=b₁₂=1

a₉=b₁₃=1

ȃ=101110111

5) Формирование значений контрольных символов.

После определения информационных символов контрольные символы определяются следующим образом

- сложение по модулю 2

b_j – разряды имеющие номера из соответствующих множеств L_i

b₁=b₃ b₅ b₇ b₉ b₁₁ b₁₃=1 0 1 1 1 1 1=1

b₂=b₃ b₆ b₇ b₁₀ b₁₁=1 1 1 0 1=0

b₄=b₅ b₆ b₇ b₁₂ b₁₃=0 1 1 1 1=0

b₈=b₉ b₁₀ b₁₁ b₁₂ b₁₃=1 0 1 1 1=0

6) Окончательно для сообщения ȃ=101110111 код Хэммига будет иметь следующий вид ƀ=b₁b₂b₃…b₁₃=1010011010111.

Т.о. Можно построить код Хэмминга для сообщения с любым набором длины m