3(20) Маршруты. Цепи. Циклы.
Опр
Маршрут(путь) в графе G
– чередующаяся последовательность
вершин и рёбер,в которой любые 2 соседних
элемента инцинденины.
{
},
,
},
,..
,
},
.
,
,…
,
.
Говорят,что
маршрут соединяет вершины 
и
.
Очевидно,что маршрут можно задать
последовательностью вершин.
Опр Число n в данных обозначениях – длина маршрута (это число ребёр в маршруте)
Опр Маршрут – замкнутый,если = (иначе открытый)
Опр Цепь-маршрут,в котором все рёбра различны
Опр Простая цепь – это цепь,в которой все вершины различны
Опр Цикл – это замкнутая цепь
Опр Простой цикл – замкнутая простая цепь
П
ример1
V1v3v1v4 – маршрут
V1v3v5v3v4 – цепь
V1v4v3v2v5 – простая цепь
V1v3v2v5v3v4 – цикл
М1м4м3м1 – простой цикл
Связность
Опр Граф – связный,если любые 2 его вершины соединены маршрутом
Для ориентированных графов сущ. Сильная связность
Опр Путь в орграфе – ориентированный маршрут.
Замечание Для неориентированных графов понятие пути и маршрута совпадают.
Опр Орграф связный,если он связный,не принимая в расчёт ориентацию дуг.
Опр Орграф – сильно связный,если для любых вершин найдётся путь с началом в первой вершине и концом во второй вершине.
Пример
Т1 Для любого графа G либо он сам,либо его дополнение является связными.
Отношение связности вершин- отношение эквив-ти,т.е мн-во вершин разбивается на конечное число классов эквив-ти V=V1υV2….υVk; Vi Ω Vj=ǿ Vi,j =1..k
Vi ≠ ǿ
Т.о граф разбивается на связные подграфы,которые называютсяя компонентами связности.
Класс эквив-ти по отношению связности – компоненты связности графов.
Т2 Каждый граф явл-я дизъюнктивным объединением своих компонент связности
Опр Вершина графа – точка сочлинения,если её удаление увеличивает число компонент связности.
Утв1 В любом нетривиальном графе есть по к.м 2 вершины,кот-е не явля-я точками сочлинения,где IVI≥2
Опр Ребро графа удаления которого увеличивает число компонент связности-мост
Утв2 При удалении из графа моста число компонент связности увеличивается точно на 1
(20)Утв3 Ребро графа-мост,тогда и только тогда,когда оно не содержится в одном из циклов.
Для орграфа понятие компоненты сильно связности вводится анологично как и для графов понятия компоненты связности,заменяя связность на сильную связность.
Нахождение сильных компонент орграфа
Пусть
P(G)
– матрица смежности вершин графа
G=(V,E),где
IVI=n
Рассмотрим матрицу В=Е+Р+
+..
,где
В= (
)
Введём
матрицу С=(
),где
I,j=1..n
по след правилу
= 1,если
≠0
или 0,если
=0
Матрица С – матрица связности,если G не орграф и матрица достижимости,если G орграф.
Из опр матрицы C следует,что в графе G сущ.маршруты (для орграфа-путь)из вершины xi в xj тогда и только тогда,когда cij=1
Т.о в матрице С содержится инфо о существовании связей между различными элементами графа G по средствам маршрута.
Опр Матрица L = (lij),I,j=1..n,где lij=1,если верш xi достижима из вершины xj иди 0,если вершина xi не достижима из вершины xj.
Матрица L- марицат контрдостижимости.
Мат
L
и С квадратного порядка n.
Можно показать,что L=
Мат C и L используется для нахождения сильных компонент связности графа G.
Опр Матрица F=C*L где * означает поэлементное произведение мат С=(cij) L=(lij),т.е F=(fij),где fij=cij*lij и эта матрица сильных компонент графа G .
Fij=1тогда и только тогда,когда вершины xi и xj взаимнодостижимы(т.е существует путь с началом в xi и концом xj и существует путь с началом в xj и концом в xi)
Т.о сильная компонента орграфа содержащая вершину xi состоит из элементов xj для которых fij=1
Выявление маршрутов с заданным количеством рёбер.
С помощью мат смежности вершин можно найти все маршруты,содержащие заданное количество рёбер(дуг)
Теор. Для определения кол-ва маршрутов,состоящие из к рёбер(дуг),необходимо возвести в к степень мат смежности вершин. Тогда элем-ты Pij даст кол-во маршрутов длины к(сост-й из к рёбер)из вершины в vi в vj , где P-мат смежности вершин