16(33) Общий критерий взаимной однозначности. Теорема Маркова. Примеры

Пусть алфавитное кодирование задано схемой

Ʃ: a₁ - ƀ₁, a₂ - ƀ₂, a₃ - ƀ₃, …, a_r - ƀ_r – элементарные коды

Опр Представление элементарного кода ƀ_i схемой алфавитного кодирования Ʃ

ƀ_i=ƀ’ƀ_i1… ƀ_ikƀ”, где слово b' не может оканчиваться на элементарный код, а ƀ” не может начинаться с элементарного кода называется нетривиальным разложением кода

При этом одно из слов ƀ' и ƀ” может быть пустым (˄) (возможно и оба). Для определения однозначности или неоднозначности схемы алфавитного кодирования существует эффективный алгоритм использующий понятие нетривиального разложения элементарных кодов

Алгоритм

1) Для каждого элементарного кода выписываем все нетривиальные разложения

2) Выписываем множество M₁ состоящее из ƀ’ которые входят в качестве начал в нетривиальное разложении кодов

3) Выписываем множество M₂ состоящее из всех слов ƀ” которые являются окончанием нетривиальным разложением элементарных кодов

4) Составляем множество M=(M₁ M₂) {˄}, т.е. множество слов встречающихся как в качестве начал и в качестве окончаний в нетривиальном разложении элементарных кодов

5) Выписываем все разложения элементарных кодов связанных с множеством M, т.е. все разложения элементарных кодов вида ƀ_i=ƀ’ƀ_i1… ƀ_ikƀ”, где ƀ’,ƀ” M, а r может быть равным 0

6) По разложениям полученным в пункте 5 строится ориентированный граф G_Ʃ следующим образом: вершины графа отождествляются с элементами M, пара вершин (ƀ’, ƀ”) соединяются ориентированными ребрами  если существует разложение ƀ’ƀ_i1… ƀ_ikƀ”. При этом дуге (ƀ’,ƀ”) приписывается слово ƀ_i1… ƀ_ik соответствующее этому разложению

7) По полученному графу G_Ʃ легко проверить обладает или нет исходная схема кодирования свойствами взаимооднозначности

Т Маркова А.А.

Алфавитное кодирование со схемой Ʃ не обладаеи свойством взаимной однозначности  граф G_Ʃ содержит ориентированный цикл (контур) проходящий через вершину ˄

Т.е. алфавитное кодирование является взаимнооднозначным  в графе G_Ʃ отсутствуют контуры и петли проходящие через вершину ˄

Зам Если схема алфавитного кодирования Ʃ не обладает свойствами взаимной однозначности то это означает что существуют слова из S(B) допускающие 2 кодирования. Одно из таких слов ƀ легко находится по графу G_Ʃ. Для записи слова ƀ нужно посмотреть ориентированный цикл проходящий через вершину ˄. Начиная с ˄ и выписывать последовательно все слова приписанные ребрам (дугам) и вершинам входящим в этот цикл

Пр Рассмотрим алавитное кодирование с алфавитом сообщения A={a₁,a₂,a₃,a₄},B={a,b,c} и схемой Ʃ. Ʃ:a₁ – a,a₂ – ab, a₃ – cab, a₄ – baac. Является ли схема Ʃ взаимооднозначной? С(Ʃ)={a,ab,cab,baac}

1) ƀ₁=a, ƀ₂=ab=˄(a)(b), ƀ₃=cab=(c)(ab)˄=˄(ca)(b)

ƀ₄=baac=(b)(aac)˄=˄(ba)(ac)˄=˄(baa)(c)=(b)(a)(a)(c)

2) M₁={c,b}

3) M₂={b,c}

4) M=(M₁ M₂) {˄}, M={˄,b,c}

5) ƀ₂=˄(a)(b)=˄ƀ₁(b),ƀ₃=(c)(ab)˄=(c)ƀ₂˄, ƀ₄=(b)(a)(a)(c)=(b)ƀ₁ƀ₁(c)

6) Строим граф G_Ʃ

˄ ƀ₁ b

ƀ₂ ƀ₁ƀ₁

c

7) Кодирование не является взаимооднозначным, т.к. существует контур проходящий через вершину ˄

8) ƀ=ƀ₁bƀ₁ƀ₁cƀ₂=abaacab

(ab)(a)(a)(cab)=>a’=a₂a₁a₁a₃

(a)(baac)(ab)=>a”=a₁a₄a₂