2 Итерация

Шаг 2.

Ш аг 3. Г(G1)={Г1,Г3}, Г(G2)={Г1}, Г(G3)={Г1} Г( ) , i=1,2,3 =>Шаг 4.

Есть сегмент, для которого имеется единственная допустимая грань, пусть это G2

Шаг 6. L={ }- – цепь. Поместим ее в грань Г1.

Возникает L =>Шаг 2

3 итерация

Шаг 3. Г(G1)={Г3}, Г(G2) = {Г1} =>Г( )

Шаг 4. | Г( )|= 1 , i=1,2

Шаг 6. L={ } – – цепь. Укладываем ее в грань Г3. Получаем с – цепью L

Шаг 2. 4 итерация.

Нарисуем , находим сегменты

Шаг 3.

Г ( )={Г1} , т.о. Г( ) =>

Шаг 4.

| Г( )|=1=>шаг 6

L={ }- – цепь, укладываем ее в грань Г1 и получаем L

Шаг 2. 5 итерация Находим сегменты

Шаг 2.( ) =>Шаг 7

- является плоской укладкой

исходного планарного графа

12(29). Раскраски графов

Пусть G=(V,E) – граф

Опр. Раскраской графа называется такое приписывание цветов его вершинам, что никакие 2 смежные вершины не получают одинакового цвета.

Т. Образом мн-во вершин одного цвета явл. Независимым мн-вом

Опр. Хроматическим числом X(G) наз. Min числом цветов, требующихся для раскраски графа G

Если X(G)=k, то граф Gназыв. К-хроматическим

Задача раскраски вершин и ребер графа занимает важнейшую роль в истории развития графов.

К построению раскрасок сводится ряд задач,

напр: 1.задача построения расписания 2.распределение оборудования

Легко найти хроматические числа для нек-х известных графов X( ) = n, X( )=1, X( ) = 2, X(T) = 2 (дерево)Эффективные методы определения хромат числа произвольных графов пока не наидены

В такой ситуации актуальны оценки хром. Числа терминах более или менее просто вычислительных параметров графа Обозначим граф Р(G) - наибол. Из степеней графа G

Т1. Для любого неориент. Графа выполрав-во X(G) P(G) +1

Проблема раскраски планарных явл. Одной из самых значимых проблем в теории графов. Она возникла из задач раскраски геогр. Карты, любые 2 соседние страны должны быть раскрашены в различные цвета. Эта задача сводится к раскраске планарных графов

В 1879г Кэпи сформулировал гипотезу 4-х красок. Всякий планарный граф 4-х раскрашиваемый. Попытки доказательств в 1890г привели к теореме Хивуда

Т2. Всякий планарный граф 5-раскрашиваемый (задача о 5 красках)

Трудность проблемы 4-х красок привела к появлению большому кол-ву равносильных ей формулировок.

В 1960г эта проблема была сведена к исследованию большого, но конечного множ. Так называемых неустранимых конфигураций, число которое оказалось 1482. В 1976 г науч. Коллективу под руководством Аппеля и Хейкена удалось с исп. ЭВМ правильно раскрасить все графы из множ. Неустранимых конфигураций, затратив на это около 2-х тысяч часов машинного времени. Т.об. можно считать, что формально гипотеза 4-х красок доказана. Алгоритм последовательной раскраски графа в общем случае не приводит к min раскраске.

Только для некоторых классов графов (полных k-дольных) последовательная раскраска минимальная

Алгоритм последовательной раскраски.

2 правила:

1. Произвольной вершине V графа G присваивается цвет 1.

2. Если V1…Vi раскрашены k-цветами, где k=1…i, (k входит в i)то новой произвольной Vi+1

Присваивается минимальный цвет, неиспольз. При раскраске вершин из его окружения.

Пример. Оценить и найти хроматическое число графа и раскрасить его вершину по алгоритму. Выяснить, является ли его раскраска минимальной?

V7 По Т1. X(G) P(G) +1 X(G) 3+1 =>X(G) 4 На самом деле X(G) = 2

Раскрасим вершины этого графа по алг. Последовательной ракраски

V3 1. Выберем в качестве начала начальной – вершину V7 и припишем ей цвет

V2 V4 2. Окружение вершины V7 S(V7)={V2,V4},припишем окружению цвет 2

далее вершина V3 S(V3) = {V2,V4,V6} V2,V4-уже раскрашены, V6 нет

Min цветом не исп. При раскраске из окр. Вершин V3:=1, тогда

V6:=2, V1,V5:=1 после нескольких этапов работы алгоритма

V1 V5 получается раскраска из 2-х цветов, это раскраска min

Граф G-двухцветен и представляет собой двудольный граф.

V6 V1 V5 V3 V7

V2 V4 V6

T 3.(Кёнига) Граф двухцветен  когда он не содержит нечетных простых циклов. Пример. Опр. Хром. Числа 1

G 2 3 4 X(G)=4