10(27) Планарные графы. Укладка графа. Теорема Эйлера. Теорема Понтрягина-Куратовского. Понятие искаженности и толщины непланарных графов

Опр. Плоским называют граф, вершины которого являются точками плоскости, а ребра непрерывными плоскими линиями без самопересечения, причем никакие 2 ребра не имеют общих точек, кроме инцидентной им обоим вершине

Опр. Любой граф изоморфный плоскому графу называется планарный

Опр. Пусть задан некоторый неориентированный граф G=(V,E). Пусть ∀ Vi ∈G сопоставима некоторая а_i(u| → а_i). Пусть а_i≠ а_j (i≠j), а ∀ е=(V_i, V_j) сопоставлена некоторая непрерывная кривая L, соединенная точками а_i и а_j, (где V_i | → а_i, V_j | → а_j,) и непреходящая через другие точки, тогда если все кривые сопост. ребрами не имеют общих точек, кроме концевых, то говорят что задана геометрическая реализация G или укладка графа

Т. Для любого графа существует его реализация в трехмерном пространстве

Док-во: Возьмем в пр-ве любую прямую L и разместим на ней все вершины графа G. Пусть граф G имеет q ребер, проведем связку из q различных полуплоскостей и они очевидно не будут пересекаться.

Т.Эйлера

Для всякого связного планарного графа выполняется равенство: p-q+r=2 (1)

Док-во: Пусть G связный планарный граф с p-вершинами, q-ребрами, r-гранями.

Рассмотрим некоторый остов G` этого графа. Остов G это дерево (не лес, т.к. G связный по условию граф)в нем p-вершин, q=p-1 – ребер, а граней одна (и она внешняя). p-q+r=p(p-1)+1=2 => для остова G` равенство (1) выполнено

Будем поочередно добавлять к остову G` недостающие ребра графа G при каждом добавлении число вершин не измениться, число граней и ребер увеличиться на 1, т.к. при добавлении к остову ребра, связаны 2 не смежные вершины, получается цикл. Разделим текущую грань на две, т.о. формула (1) будет верна для всякого графа, полученного в результате таких операций, а поскольку графом G заканчивается вся процедура, то формула (1) будет верна и для негою

Сл1. Ф-ла эйлера справедлива и для геометр. Реализации связных графов на сфере

Сл.2 для любого выпуклого многогранника справедливо равенство p-q+r=2, где p-вершины, q-ребра, r-грани

Сл3. Т.эйлера легко перенести на не связные графы:

Т. Пусть G – плоский граф с p-вершинами, q-ребрами, r-гранями и К-компонентами связности, тогда: p-q+r-к=1

Сл.4. если G- связный простой планарный граф с р≥3 вершинами и q – ребрами, то q≤3p-6

Док-во: Без потери общности можно считать, что G- плоский граф, т.к. каждая грань огр. По крайней мере 3 ребрами, то при подсчете числа ребер вокруг каждой из граней получим: 3r≤2q. Множитель 2 появляется от того, то каждое ребро огр. Не больше 2-ч граней, т.о. по т.Эйлера имеем: p-q+r=2; 3p-3q+3r=6; 3p-3q+2q≥6; -q≥-6-3p; q≤3p-6;

Опр. Граф К₅ наз. Граф с 5 вершинами, в котором каждая пара вершин соединена ребром (т.е. это полный граф с 5-ю вершинами)

Т2. Граф К₅ не планарен

Док-во: Рассмотрим К₅. Имеем р=5, т.к. граф К₅ полный граф, то q=(p(p-1))/2=10

Предположим, что граф К₅ планарен=> по сл. 4 имеем q≤3p-6. 10≤3*5-6. 10≤9- не верно.

Опр. Графом К_3,3 наз граф с 6-ю вершинами а₁,а₂,а₃ и в₁,в₂,в₃, в котором каждая вершина a_i соединена с каждой b_j и других ребер нет. т.е это полный двудольный граф.

Т. Граф К_3,3 не планарен.

(27)Док-во: рассмотрим граф К_3,3. p=6, q=9. В этом графе нет треугольников, т. о. каждая его грань ограничена по крайней мере 4-мя ребрами => 4r ≤ 2q => 2r ≤ q. Пусть К_3,3 планарен, тогда по формуле Эйлера p-q+r=2; 6-9+r=2; r=5; имеем 2r≤q; 10≤q. Противоречие.

Опр. Рассмотрим операцию подразбиения ребра в графе G= (V,E). После подразбиения рёбра (V, u) ∈ E. Получаем граф G’= (V’,E’), V’=V∪{Vu}, где Vu вершина, а множество E'=E\{(V,u)} ∪{(V,Vu),(Vu,u)}, т.е. ребро (V,u) заменяется на (V,u) цепь длины 2.

Опр. Два графа называются гомеоморфными, если они оба могут быть получены из одного и того же графа подразбиением его ребер.

Т. Теорема Понтрягина-Куратовского

Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных К₅ или К_3,3.

Т. Граф планарен тогда и только тогда, когда в нем нет подграфов, стягиваемых (т.е. полученных последовательностью отождествляемых вершин, связанных ребрами) графом К₅ или К_3,3.

Опр. Наименьшее число ребер, удаление которых приводит к планарности графа, называется числом планарности или искаженности. SK (G) = C_n² – 3n + 6, n≥3; n- число вершин.

Опр. Толщиной графа G t(G) называется наименьшее число планарных подграфов графа G, объединение которых дает сам граф.

, n - вершины

, n-вершины, m-ребра