1.9.4. Мощность множества r. Теорема Кантора

Аналогом мощности действительных (вещественных) чисел служит множество точек

на отрезке действительной оси или на всей действительной оси.

Равномощность различных отрезков, а также отрезка и всей прямой показаны на рисунках.

Теорема Кантора.

N < R (₀ < ₁)

Доказательство.

1. Поскольку множество R имеет такую же мощность, как и любой отрезок R, то будем рассматривать отрезок между 0 и 1. Числа будут представляться в виде бесконечных десятичных дробей. Конечные дроби для однозначности будут заменяться своими бесконечными аналогами. Например, 0.45 = 0.4499999…

Допустим, что каким-то образом установлено взаимно-однозначное соответствие между числами отрезка от 0 до 1 и множеством N.

0, а₁¹, а₂¹, а₃¹ ......

0, а₁²,а₂², а₃² ......

0, а₁³,а₂³,а₃³ ...

.

Но здесь отсутствует число 0, b₁, b₂, b₃ ... где a₁¹  b₁, b₂  a₂² ... b_n  a_nⁿ

Следовательно, предположение о возможности «пересчитать» множество действительных чисел на отрезке от 0 до 1 неверно. Действительных чисел больше.

Мощность множества действительных чисел ₁ называется мощностью континуума.

1.9.5. Арифметика бесконечного

Бесконечных мощностей бесконечно много: ₀ < ₁ < ₂ < ₃ < …

₀ - самая маленькая бесконечная мощность.

₀ + A = ₀ ₁ - ₀ = ₁

₀ + ₀ = ₀ ₀ - A = ₀

₁ + ₁ = ₁ ₀ - ₀ = ₀

₁ + ₁ = ₁ ₀ - ₁ = ₁

1.9.6. Противопоставление системного и

теоретико-множественного подходов

1. Системы, как и множества, состоят из элементов.

Теория систем исходит из первичности системы, в то время как теоретико-множественный подход считает, что первичен элемент.

2. Естественность системы (в ней нет случайных элементов) и "неразборчивость" множества.

3. Абстракция отождествления для множеств и априорная организация систем.

4. Системам присуща внутренняя организация, множествам - внешняя.

2. Математическая логика

2.1. Логика высказываний

Под высказыванием будем понимать повествовательное предложение,

относительно которого можно сказать - истинно оно или ложно.

Высказываниями не являются определения, восклицательные и вопросительные предложения, а также логические парадоксы.

Определение: Угол в 90 градусов называется прямым углом.

Восклицание: Смирно!

Вопрос: Кто сказал "мяу"?

Парадокс лжеца: "Я лгу".

Если это высказывание ложь, то я говорю правду.

Но если я говорю правду, то я действительно лгу.

Высказывания будем обозначать отдельными буквами.

Более строго их можно называть элементарными высказываниями.

Главный содержательный парадокс логики высказываний состоит в том, что она не интересуется смыслом высказываний. По образному сравнению логика Клини в математической логике на высказывания смотрят через «рентген», который отбрасывает их содержательный смысл и оставляет только "скелет" высказывания - его истинность.

Истинность может принимать два значения

истинно ложно

и л

true false

t f

но самые популярные обозначения

1. 0

которые не следует путать с числами двоичной арифметики.