2.2.2. Получение дизъюнктов

Важное замечание. Рассматриваем только замкнутые предикаты, то есть предикаты, не содержащие свободных вхождений переменных.

В общем случае необходимо пройти три этапа:

1. Получить предваренную нормальную форму.

2. Произвести сколемизацию.

3. Получить дизъюнкты.

Предваренная нормальная форма - такая форма представления предиката, когда все кванторы вынесены в начало за скобки (кванторная приставка), а в скобках есть только операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. При этом символы отрицания, если таковые имеются, стоят непосредственно перед символами предикатов.

Сколемизация (от фамилии математика - Skölem) позволяет получать запись замкнутого предиката в форме без кванторов.

Избавляемся от кванторов существования:

1. Если левее нет кванторов общности, то

соответствующая переменная заменяется константой сколема;

2. Иначе переменная заменяется функцией сколема от переменных, на которые навешаны кванторы общности, стоящие левее данного квантора существования.

После чего кванторы общности просто отбрасываются.

Пример:

¬x ( yP(x, y)  ¬zR(z)  Q(x)  yM(x, y)) 

 ¬x ( y¬P(x, y)  zR(z)  Q(x)  yM(x, y) ) 

 x ( (yP(x, y)  z¬R(z))  (¬Q(x)  y¬M(x, y)) ) 

 x ( yz (P(x, y)  ¬R(z))  y( ¬Q(x)  ¬M(x, y)) ) 

 xyzh ( (P(x, y)  ¬R(z))  ( ¬Q(x)  ¬M(x, h)) ) 

 (P(a^c, y)  ¬R(z))  (¬Q(a^c)  ¬M(a^c, f^c(y, z)))

Каждая элементарная дизъюнкция в полученном выражении является дизъюнктом.

2.3. Аксиоматические теории

2.3.1. Аксиоматическая теория исчисления высказываний

Для того чтобы задать аксиоматическую теорию необходимо задать язык, аксиомы и правила вывода данной теории.

1. Язык:

а) Символы теории, это

• буквы (для определенности, заглавные латинские): A, B, C, ... , Z

• специальные символы: (, ), , ¬

б) Последовательности символов образуют выражения.

Например, выражениями будут AB ¬ (B¬ или другое, более приятное глазу,

(A  B)  (¬B)

Формулами будем называть выражения, задаваемые индуктивно следующим образом:

а) Любая буква (A ... Z) есть формула.

б)Если А, В - формулы, то (А), ¬A, A  B - также формулы.

2. Аксиомы зададим тремя схемами аксиом:

A  (A  B)

(A  (B  C))  ((A  B)  (A  C))

(A  B)  (¬B  ¬A)

В схемы аксиом вместо A, B, C могут быть подставлены любые формулы. В результате конкретных подстановок на основе схем аксиом будут появляться конкретные аксиомы.

3. Правила вывода: В данной конкретной версии аксиоматической теории используется всего одно (но самое известное) правило вывода modus ponens

(модус утверждающий) или кратко - mp. Это правило, учитывая особенность его работы, еще называют правилом отсечения.

A , A  B  B

Символ  читается как "выводимо". То есть в данной теории из формул

A и A  B выводима формула B или формула B есть теорема данной теории.

Выводом (в данной теории) называется последовательность формул Ф₁, Ф₂, ... , Ф_n, где каждая следующая формула является аксиомой, или следует по правилу вывода из предыдущих. Последняя формула вывода называется теоремой.

Важное замечание. При описании теории, в том числе и ее языка, использовались средства, не принадлежащие определяемому (целевому) языку: запятые, точки, слова русского языка и т.д. Совокупность средств, используемых при описании целевого языка, называется метаязыком.

Пример:

Лемма:  A  A

Ф1: Возьмем схему аксиом 2 и подставим А = А, С = А, В = А  А, в результате получим:

(A  ((A  A)  A))  ((A  (A  A))  (A  A))

Ф2 : Из схемы аксиом 1, при А = А, В = А  А, получим :

(А  ((А  А)  А))

из Ф1,Ф2 по m.p. получаем Ф3: (A  (A  A))  (A  A)

Ф4 : Из схемы аксиом 1, при А = А, В = А, получим:

(А  (А  А))

из Ф3, Ф4 по m.p. получаем Ф5: A  A