2.6. Система Генцена

В ее основе лежит понятие секвенции.

Секвенции имеют вид

антецедент - A₁, A₂, ... A_{n } B₁, B₂, ... B_n - сукцедент



знак секвенции

Содержательно это равносильно выражению:

A₁  A₂ ... A_n  B₁ B₂ ... B_n

Аксиома (схема аксиом) в системе Генцена единственная и она имеет вид:

A A

Правила вывода:

(Из секвенций над чертой выводимы секвенции под чертой, а Г обозначает какое-то множество формул).

1) A, Г В 1) Г A; Г А В

Г АB Г В

2) Г А; Г B 2) Г АВ

Г А  В Г А

3) Г А 3) Г, A B; Г, С B; Г A  В

Г A  B Г В

4. Г, А 4) Г А; Г ¬А

Г ¬А Г

5. Г, A, B C

Г, B, A C

6. A, A B 6) A B, B

A B A B

7. Г B 7) Г A

Г, A B Г A, B

Докажем  А  А :

1. Из первой аксиомы, при Г =  и В = А:

A  A

 А  A

Теорема доказана.

Докажем  ¬A  A

A A

 ¬A, A

 ¬A  A, ¬A

 ¬A  A

2.7. Система Аристотеля

Древнейшей аксиоматической системой является система Аристотеля. Она не может быть полностью интерпретирована с помощью логики предикатов. Тому ряд причин и одна из существенных – то, что при интерпретации сущностей аристотелевой логики могут использоваться только непустые множества.

В связи с этим прямой перевод на язык предикатов может приводить к парадоксальным ситуациям. Например,

пусть P(x) - x выше двух метров

На множестве людей имеет место: х Р(х) = 0, х Р(х) = 1.

Но на множестве марсиан х Р(х) = 1, х Р(х) = 0.

т.е.х Р(х)  х Р(х)

Рассуждения в аристотелевой логике базируются на том, что если некоторые высказывания верны, то и некоторое новое предложение обязано быть верным в силу правильности логической конструкции (силлогизма).

Пример.

Интерпретация множествами:

Смертные

Животные

Люди

То есть из «Все животные смертны» и «Все люди – животные» следует

«Все люди смертны» или

Ж  С, Л Ж  Л  С

Категорические высказывания.

Имеется четыре типа так называемых категорических высказываний.

1. Общеутвердительные Asp (Axy):

Всякое S есть P.

Аналог на языке предикатов x ( S(x)  P(x) )

S P S, P

S  P = 0 - интерпретация на множествах

2. Общеотрицательные Esp (Exy):

Не одно S не есть P.

Аналог на языке предикатов x ( S(x)  ¬P(x) )

S P

SP = 0 - интерпретация на множествах

3. Частично-утвердительные Isp (Ixy) :

Некоторые S есть P.

Аналог на языке предикатов x ( S(x) & P(x) )

S P S P S P S P

S  P  0 - интерпретация на множествах

4. : Частное отрицание Osp (Oxy)

Некоторые S не есть P.

Аналог на языке предикатов x ( S(x)  ¬P(x) )

S  P  0 - интерпретация на множествах

Соотношения высказываний можно представить в виде логического квадрата.

Axy противоречивые Exy

с

л

е

д

с

т

в

и

е

 

с

л

е

д

с

т

в

и

е

Ixy антипротиворечивые Oxy

Модус - структура умозаключения, которая определяет его истинность.

Модусы непосредственного заключения

Всего таких модусов 32. Вот некоторые из них.

Axy  Axy истинно Axy  Ayx ложно

Axy  Exy ложно

Axy  Ixy истинно

Axy  Oxy ложно

Exy  Oxy истинно Еху  Оух истинно

Oxy  Oxy истинно Oxy  Oyx ложно

Категорические силлогизмы.

Всего категорических силлогизмов - 256.

Axy  Azy  Azx

Exy  Ayz  Ozx

………………….