1.7.2. Отношения порядка

Четыре определения отношений порядка можно свести в таблицу.

	Свойства		Рефлексивность	Антирефлексивность	Антисимметричность	Полнота	Транзитивность
Порядки
нестрогий (частичный)			+		+		+
совершенный нестрогий			+		+	+	+
строгий				+	(+)		+
совершенный строгий				+	(+)	+	+

То есть, например, нестрогий (частичный) порядок - отношение, обладающее свойствами , рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

1.7.3. Морфизмы

Всюду-определенное функциональное соответствие называется отображением.

f



A

B

B₁

f : AB



= <R, A>  = <Ф, В>

A₂

B₂

Отображение f называется отображением гомоморфизма или гомоморфным отображением, или просто морфизмом, если для элементов множества А выполняется А₁А₂, а для образов выполняется В₁ В₂. То есть

f(А₁А₂) = f(А₁)  f(А₂) , где f(А₁) = В₁, f(А₂) = В₂.

Содержательный пример морфизма – высота земной поверхности над уровнем моря и более темный коричневый цвет на географической карте.

Эндоморфизм - гомоморфизм "в себя".

Мономорфизм - инъективный гомоморфизм.

Эпиморфизм - сюръективный гомоморфизм.

Изоморфизм - биективный гомоморфизм

Автоморфизм - изоморфизм в себя.

1.8. Решетки

Решетки - это частично-упорядоченные множества, отношения порядка на которых, удовлетворяют ряду дополнительных требований.

чум - частично-упорядоченное множество, т.е. множество с определенным на нем частичным порядком.

1.8.1. Диаграммы Хассе

Диаграммы Хассе используются для того, чтобы за счет принятых по умолчанию соглашений облегчить графическое представление частично-упорядоченных множеств.

Пример изображения частичного порядка (устанавливаемого отношением включения) для множества

{, {0}, {1}, {0,1}}

 {0} {0,1}

{0} {1}

диаграмма

Хассе



{1} {0,1}

По умолчанию на диаграмме Хассе:

«Стрелки» направлены снизу вверх.

Не отображается рефлексивность.

Не отображаются транзитивные замыкания.

1.8.2. Понятие решетки

Пусть рассматриваемые далее множества А и В - чум.

Наибольшим (наименьшим) элементом аА называется элемент а, если а  () х, где х  А.

Теорема: Если в множестве А существует наибольший элемент, то он единственный.

Доказательство: Предположим, что существуют два наибольших элемента а₁ и а ₂, тогда :

}

а₁ = а₂;

а₁  а₂

а₂  а₁

Максимальным (минимальным) элементом множества А называется элемент аА, когда неверно, что а  ()х, где х  А.

Мажорантой (минорантой) множества В (такого что   В  А) является

элемент а  А, такой что элемент а является наибольшим (наименьшим) элементом для множества В.

Множество мажорант (минорант) множества В образует верхнюю (нижнюю) грань множества В.

Наименьший элемент верхней грани называется точной верхней гранью или Supremum (Sup).

Наибольший элемент нижней грани называется точной нижней гранью или Infimum (Inf).

Частично-упорядоченное множество, в котором любая пара элементов имеет Sup и Inf называется решеткой.

Примеры решеток.