4.7. Задача о 4 красках
Это одна из самых знаменитых задач теории графов и математики вообще.
Достаточно ли четырех красок для раскраски любой политической карты мира так, чтобы два государства, имеющие общую границу, были раскрашены в разные цвета?
В качестве иллюстрации можно взять произвольную "карту". Для облегчения анализа представим государства в виде вершин графа. "Раскраску" отобразим цифрами.
Дуги будут говорить о наличии общих границ. Не должно быть дуг, соединяющих вершины с одинаковыми цифрами.
1 2 1
1 2 1
3
3
2
1
1 4 2
1 4
1
Так что задачу можно переформулировать так:
Сколько необходимо красок в планарном графе, чтобы любые две смежные вершины были раскрашены различными цветами?
Теорема: Трех красок мало.
1
Пример доказывает, что 3-х красок мало
4
2 3
Теорема: Для раскраски любого планарного графа достаточно 5-ти красок
Доказательство:
1) Для любого планарного графа с n<=5 теорема справедлива.
2) Пусть любой планарный граф с n вершинами 5-раскрашиваемый.
Докажем справедливость этого и для графа с n+1 вершинами, опираясь на доказанный факт, что в любом плоском графе имеется хотя бы одна вершина степени не выше пяти. Объявим такую вершину n+1-ой.
Если
эта вершина имеет степень не больше
четырех , то 5 красок хватит. Но если
степень пять, то из 1-ой вершины строим
все возможные цепи , где чередуются
вершины 1 и 3 : Здесь
возможны два случая: 1).
Ни одна из цепей не замкнулась на третью
вершину. Тогда меняем цветами все 1-ые
и 3-ие вершины и n+1 -ю вершину красим в
3-ий цвет ;
3 3
1
3
1
3
2
5
1
3
4
n
2.) Одна из цепочек замкнулась на 3, тогда из вершины с номером 2 строим цепь 2-4. Ни одна из этих цепей не замкнется на 4-ю вершину (т.к. граф планарный!). Меняем цвета 2 и 4 в этой цепи. И красим n+1-ю вершину в цвет 2.
Таким образом, то, что пяти красок достаточно, доказано.
Возвращаясь к четырем краскам следует сказать, что американскими математиками была доказана теорема, о том, что четырех красок достаточно. Однако, в этом доказательстве есть шаги, связанные с очень большими переборами вариантов, выполненные с использованием компьютера (пойди проверь). Так что с точки зрения «пуританской» математики можно считать, что теорема пока не доказана…