- •Пермский Государственный Технический Университет
- •Введение
- •1. Теория множеств
- •1.1 Понятие множества
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Диаграммы Эйлера - Венна
- •1.4. Алгебра множеств
- •1.5. Кортеж. График
- •1.6. Соответствия
- •2 3 4 5
- •1.7. Отношения
- •1.7.1 Отношение эквивалентности
- •1.7.2. Отношения порядка
- •1.7.3. Морфизмы
- •1.8. Решетки
- •1.8.1. Диаграммы Хассе
- •1.8.2. Понятие решетки
- •1.8.3. Алгебраическое представление решеток. Булевы решетки
- •1.8.4. Подрешетки
- •1.9.4. Мощность множества r. Теорема Кантора
- •1.9.5. Арифметика бесконечного
- •2.1.1. Операции над высказываниями
- •2.1.2. Построение и анализ сложных высказываний
- •2.1.3. Алгебра высказываний
- •2.1.4. Формы представления высказываний
- •2.1.5. Преобразование высказываний
- •2.1.6. Минимизация высказываний методом Квайна
- •2.1.7. Минимизация с помощью карт Вейча
- •2.1.8. Функциональная полнота
- •2.2. Логика предикатов
- •2.2.1. Основные равносильности для предикатов
- •2.2.2. Получение дизъюнктов
- •2.3. Аксиоматические теории
- •2.3.1. Аксиоматическая теория исчисления высказываний
- •2.3.2. Непротиворечивость и полнота аксиоматической теории исчисления высказываний
- •2.4. Аксиоматические теории первого порядка
- •2.5. Метод резолюций
- •2.6. Система Генцена
- •2.7. Система Аристотеля
- •2.8. Примеры неклассических логик
- •3. Теория Автоматов
- •3.1. Понятие автомата
- •Законы функционирования автоматов
- •3.2. Примеры автоматов
- •3.3. Минимизация автоматов
- •3.4. Особенности минимизации автомата Мура
- •3.5. Переход от автомата Мура к автомату Мили и наоборот
- •4.Теория графов
- •4.1. Понятие графа
- •4.2. Теорема Эйлера
- •4.3. Полные графы и деревья
- •4.4. Деревья
- •4.5. Алгоритм Краскала
- •4.6. Планарные графы
- •4.7. Задача о 4 красках
- •4.8. Определение путей в графе
- •4.9. Приведение графа к ярусно-параллельной форме
- •4.10. Внутренняя устойчивость графа
- •4.11. Множество внешней устойчивости. Ядро графа
- •4.12. Клика
- •5. Теория групп
- •5.1. Понятие группы
- •5.2. Морфизмы групп
- •5.3. Инвариантные (нормальные) подгруппы
- •5.4. Группа Диэдра (d3)
- •5.5. Смежные классы
- •5.6. Фактор-группы
- •5.7. Группа Клейна четвертой степени
- •6. Теория алгоритмов
- •6.1. Понятие алгоритма
- •6.2. Конкретизация понятия алгоритма
- •6.3. Сложность вычислений
- •6.4. Машины Тьюринга
- •6.5. Нормальные алгорифмы Маркова
- •6.6. Рекурсивные функции
- •6.7. -Исчисление
- •7. Формальные грамматики
- •7.1. Понятие формальной грамматики
- •7.2. Деревья вывода
- •7.3. Классификация языков по Хомскому
- •7.4. Распознающие автоматы
- •7.5. Понятие транслятора
- •7.6. Основные функции компилятора. Лексический анализ
- •7.7. Переход от недетерминированного распознающего автомата к детерминированному
- •7.8. Переход от праволинейной грамматики к автоматной
- •7.9. Lex
- •7.10. Детерминированные автоматы с магазинной памятью (мп-автоматы)
- •7.11. Транслирующие грамматики
- •7.12. S и q - грамматики
- •7.13. Ll(1) - грамматики. (left - leftmost)
- •7.14. Метод рекурсивного спуска
- •7.15. Lr - грамматики (left - rightmost)
- •7.16. Функции предшествования
- •7.17. Атрибутные грамматики
- •7.18. Yacc
- •7.19. Область действия и передача параметров
- •7.20. Генерация выходного текста. Польская инверсная запись
- •7.21. Оптимизация программ
- •8. Функциональное программирование
- •9. Логическое программирование. Язык Пролог
- •10. Объектно-ориентированное программирование
- •Заключение
- •Литература
7.16. Функции предшествования
Этот интересный метод придумал Р.Флойд – автор многих остроумных решений в программировании. Вместо матрицы строятся две специальные функции f и g , такие что:
1. Если Si∙*> Sj f(Si) > g(Sj).
2. Если Si <* Sj f(Si) < g(Sj).
3. Если Si =* Sj f(Si) = g(Sj).
Тогда, вместо поиска с помощью матрицы отношения предшествования между символами, просто происходит сравнение числовых значений соответствующих функций на больше меньше равно.
Построение функций предшествования:
0. Строится матрица предшествования и начальные значения функций принимаются равными единице: f(Si) = g(Sj) = 1.
Матрица просматривается по строкам в поисках отношений ∙*> и, если
f(Si) > g(Sj), то идем дальше, если же Si *> Sj, а f(Si) ≤ g(Sj), то увеличиваем значение f(Si) - f(Si) = g(Sj) + 1.
Матрица просматривается по столбцам в поисках отношений <*∙ и, если
f(Si) < g(Sj), то идем дальше, если же Si <* Sj, а f(Si) g(Sj), то увеличиваем значение g(Sj) - g(Sj) = f(Si) + 1.
3. Матрица просматривается в поисках отношений =* и, если f(Si) = g(Sj), то идем дальше, если Si =* Sj, а f(Si) g(Sj), то выравниваем значения функций путем увеличения меньшего из значений до большего - f(Si) = g(Sj) = max[f(Si), g(Sj) ].
4. Возвращение к первому пункту.
Повторять до тех пор, пока рост функций не прекратится (или когда значение одной из функций не превысит 2*n, где n - размерность матрицы - в этом случае алгоритм не сходится).
Пример.
На основе матрицы предшествования в соответствии с описанным алгоритмом построим функции предшествования.
Уточняемые значения функций будем располагать левее строк и выше столбцов с соответствующими символами.
5 4
4 3 2
2 3 2 1
1 1 1 1
g(Sj)
f(Si)
|
A |
B |
C |
D |
E |
A |
|
∙> |
<∙ |
∙> |
∙ |
B |
|
∙ |
|
|
|
C |
<∙ |
|
|
|
|
D |
∙> |
|
|
|
|
E |
|
∙ |
|
∙> |
|
3 2 1
1
4 3 1
6 5 3 2 1
2 1
В результате получим числовые значения (табличных) функций для всех символов.
|
A |
B |
C |
D |
E |
f |
3 |
2 |
4 |
6 |
2 |
g |
5 |
2 |
4 |
1 |
3 |
Однако, этот метод не свободен от недостатков:
1. Алгоритм не всегда сходится (не всегда приводит.к построению функций).
2. При переходе к функциям происходит «незаконное доопределение» матрицы. То есть как бы появляются отношения предшествования между парами символов, для которых в исходной матрице отношение отсутствовало.