4.8. Определение путей в графе

a b

g

c

f

e d

Требуемые результаты получаются путем перемножения матриц смежности графа.

M - матрица смежностей, показывает пути длиной в 1 в данном графе.

	a	b	c	d	e	f	g
a				1	1
b		1
c
d							1
e			1	1
f			1		1
g		1

	a	b	c	d	e	f	g
a				1	1
b		1
c
d							1
e			1	1
f			1		1
g		1

M M

Матрица M² дает все пути длиной в 2

	a	b	c	d	e	f	g
a							1
b
c
d		1
e							1
f		1		1
g

Матрица Мⁿ - пути длиной в n.

Если Мⁱ - нулевая матрица, то наибольший путь в графе имеет длину i - 1.

Для определения наличия путей между двумя вершинами можно использовать «транзитивное замыкание» матриц

M^* = M¹  M²  M³ ...

Непустая клеточка ij будет говорить о наличии пути из i-ой вершины в j-ую.

4.9. Приведение графа к ярусно-параллельной форме

Эти рассуждения имеют смысл для ориентированных графов без контуров.

Граф находится в ярусно-параллельной форме (ЯПФ),

если в нулевом ярусе размещаются вершины, имеющие нулевую полустепень захода, в i-том ярусе - вершины, в которые заходят дуги только из предыдущих ярусов, причем хотя бы одна дуга из (i - 1)-го яруса.

Пусть дан произвольный граф без циклов.

a

h b

g c

f d

e

	a	b	c	d	e	f	g	h
a			1
b
c		1
d					1			1
e	1						1
f			1
g		1	1
h	1					1

Алгоритм приведения к ЯПФ:

1. Матрица смежности графа просматривается, и в очередной ярус выбираются вершины с нулевой полустепенью захода, соответствующие нулевым столбцам.

2. Строки, соответствующие выбранным на предыдущем шаге вершинам, обнуляются.

3. Осуществляется возврат к шагу 1, до полного исчерпания матрицы.

4. Прорисовываются дуги.

В результате, вышеприведенный граф примет вид:

d

e h

g f

a

c

b

Ширина яруса определяется числом вершин в ярусе.

Ширина графа в ЯПФ определяется шириной самого большого яруса.