1.8.3. Алгебраическое представление решеток. Булевы решетки

Введем обозначения Sup(a, b) = a  b, Inf(a, b) = a  b ,

Будем считать традиционно используемые здесь значки ,  не имеющими никакого отношения к теоретико-множественным операциям объединения и пересечения.

Если выполняются законы :

1. a  b = b  a 1’. a  b = b  a

2. (a  b)  c = (b  c) a = a  b  c 2’. (a  b)  c = (b  c)  a = a  b  c

3. a  (a  b) = a 3’. а  (b  a) = a

4. a  a = a 4’. а  a = a

то имеет место решетка.

То есть решетка можно определить как алгебру Z = < L, ,  > , для операций которой выполняются вышеперечисленные законы.

Решетка называется дистрибутивной, если дополнительно к вышеперечисленным выполняется дистрибутивный закон:

5. a  b  c = (a  b) (a  c) 5'. а  (b  c) = a  b  a  c

Пример : Недистрибутивная решетка:

a b  e = (a  b)  (a  e)

а  e = a  a

a = a

b  c  d = b  c  b  d

b  e = a  a

b  a недистрибутивность

Эта решетка недистрибутивная.

Решетка называется ограниченной, если она имеет максимальный и минимальный элементы.

Например, если взять отрезок действительной оси от 0 до 1 (вместе с конечными точками) и отношение "меньше", то это будет ограниченная решетка. Убрав крайние точки, получаем неограниченную решетку.

1 1

- неограниченная решетка - ограниченная

(без 1 и 0)

0 0

Обычно минимальный элемент решетки обозначают как 0, а максимальный как 1.

ā- дополнение а, если а  ā = 1 и а  ā =0

Решетка является решеткой с дополнением, если каждый элемент имеет хотя бы одно дополнение.

Ограниченная дистрибутивная решетка с дополнением является булевой.

Примеры булевых решеток:

2ⁿ

1.8.4. Подрешетки

Пусть даны две решетки:  = <L, , > и  = <N, , >, тогда  - подрешетка решетки , если NL и n₁  N, n₂  N, то n₁  n₂  N и n₁  n₂  N.

Если  = <I, , > - подрешетка решетки , и из i  I, l  L следует i  l  I,

то  называется идеалом.

Если  = <F, , > - подрешетка решетки , и из f  F, l  L следует i  l  I,

то  называется фильтром.

1.8.5. Морфизмы решеток

негомоморфное гомоморфное

гомоморфные

1.9. Мощность множества

Обозначения:

N - множество натуральных чисел.

Z - множество целых чисел.

Q - множество рациональных чисел.

R - множество целых чисел.

С - множество комплексных чисел.

1.9.1. Понятие мощности

Г. Кантор понимал мощность, как двойную абстракцию. Мы абстрагируемся от конкретных элементов множества и от порядка, в котором они расположены. То, что в результате остается и есть мощность. Мощности можно сравнивать на больше, меньше, равно.

N - мощность множества N.

1.9.2. Аксиоматика Пеано

Наименьшей бесконечной мощностью является счетная мощность - мощность множества натуральных чисел. Это бесконечное множество можно задать с помощью системы аксиом:

1. 0  N

2. n  N  n^’  N

3. n  N  n^’  0

4. n  N, m  N, n^’ = m^’  n = m

}

5

A = N

. 0 A  N

n  A  n^’ A

где n^’ - элемент, следующий за n .

N = ₀ (алеф-нуль) - счетная мощность.

1.9.3. Сравнение мощностей

1. Сравним мощность множества N и мощность множества целых четных положительных чисел:

1 2 3 4 5 …

2 4 6 8 10 …

то есть можно между этими множествами установить взаимно-однозначное соответствие. Это будет множество пар вида < n, 2n >.

2. Сравним мощность множества N и множества Z.

1 2 3 4 5 6 …

0 1 -1 2 -2 3 …

Здесь также имееть место взаимно-однозначное соответствие. То есть эти множества равномощны.

3. Сравним мощность множества N и множества Q.

0  1 -1 2 -2 3 -3 ...

11 1 1 1 1 1

0 1 -1 2 -2 3 -3 ... В эту сетку попадут все рациональные числа.

22 2 2 2 2 2



0 1 -1 2 -2 3 -3 ...

3 3 3 3 3 3 3

.

.

.

Мощность Q также равна мощности N.